【学霸笔记：同步精讲】第一章 1.2 1.2.2 空间中的平面与空间向量 课件--2026版高中数学人教B版选必修1

(课件网) 复习任务群一 现代文阅读Ⅰ 把握共性之“新”　打通应考之“脉” 第一章　 空间向量与立体几何 1.2　空间向量在立体几何中的应用 1.2.2　空间中的平面与空间向量 学习任务 1．理解平面的法向量的概念，会求平面的法向量．(数学抽象) 2．会用平面的法向量、直线的方向向量证明直线与平面、平面与平面的平行、垂直问题．(数学运算、逻辑推理) 3．理解并会应用三垂线定理及其逆定理证明有关垂直问题．(逻辑推理) 牌楼，与牌坊类似，是中国传统建筑之一，最早见于周朝，在园林、寺观、宫苑、陵墓和街道常有建造．旧时牌楼主要有木、石、木石、砖木、琉璃等几种，多设于要道口．牌楼中有一种柱门形结构，一般较高大．牌楼的柱子与地面是垂直的，如果牌楼上部的下边线与柱子垂直，我们就能知道下边线与地面平行．这是为什么呢？ 必备知识·情境导学探新知 知识点1　平面的法向量 (1)定义：如果α是空间中的一个平面，n是空间中的一个_____向量，且表示n的有向线段所在的直线与平面α_____，则称n为平面α的一个法向量．此时也称n与平面α垂直，记作_____． 非零 垂直 n⊥α (2)性质：如果A，B是平面α上的任意不同两点，n为平面α的一个法向量，则 1 若直线l垂直平面α，则l的任意一个方向向量都是平面α的法向量 2 对任意实数λ≠0，λn也是平面α的一个法向量 3 垂直 思考　平面α的法向量唯一吗？它们有什么共同特征？ [提示]　不唯一，彼此平行． 知识点2　空间线面位置关系与空间向量 (1)如果v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，当n∥v时，l与α_____；当n⊥v时，l与α_____，或者l在α内． (2)如果n1是平面α1的一个法向量，n2是平面α2的一个法向量，当n1⊥n2时，α1与α2_____；当n1∥n2时，α1与α2_____，或者α1与α2_____． 垂直 平行 垂直 平行 重合 知识点3　三垂线定理及其逆定理 (1)三垂线定理：如果平面内的一条直线与平面的_____在该平面内的_____垂直，则它也和这条_____垂直． (2)三垂线定理的逆定理：如果平面内的_____和这个平面的_____垂直，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直． 一条斜线 射影 斜线 一条直线 一条斜线 1．已知平面α内有两点M(1，－1，2)，N(a，3，3)，平面α的一个法向量为n＝(6，－3，6)，则a＝(　　) A．4　　　　B．3　　　　C．2　　　　D．1 C　[因为M(1，－1，2)，N(a，3，3)，所以＝(a－1，4，1)，因为平面α的一个法向量为n＝(6，－3，6)，所以n⊥，则n·＝6(a－1)－3×4＋6＝0，解得a＝2.] √ 2．平面α的一个法向量为a＝(1，2，0)，平面β的一个法向量为b＝(2，－1，0)，则平面α与平面β的位置关系为(　　) A．平行 B．相交但不垂直 C．垂直 D．不能确定 C　[因为(1，2，0)·(2，－1，0)＝0，所以两法向量垂直，从而两平面垂直．] √ 3．空间中三点A(0，1，0)，B(2，2，0)，C(－1，3，1)，平面ABC的一个法向量是_____． (1，－2，5)(答案不唯一)　[因为A(0，1，0)，B(2，2，0)，C(－1，3，1)，所以＝(2，1，0)，＝(－1，2，1)， 设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)，则 ，取x＝1，得n＝(1，－2，5)．] (1，－2，5)(答案不唯一) 4．已知PO⊥平面ABC，且O为△ABC的垂心，则AB与PC的位置关系是_____． 垂直　[因为O为△ABC的垂心，所以CO⊥AB. 又因为OC为PC在平面ABC内的射影， 所以由三垂线定理知AB⊥PC.] 垂直 类型1　求平面的法向量 【例1】　(源自人教A版教材例题)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，CC1＝2，M是AB的中点，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． (1)求平面BCC1B1的法向量； (2)求平面MCA1的法向量． 关键能力 ... ...