【学霸笔记：同步精讲】第一章 1.2 1.2.4 二面角 课件--2026版高中数学人教B版选必修1

(课件网) 复习任务群一 现代文阅读Ⅰ 把握共性之“新”　打通应考之“脉” 第一章　 空间向量与立体几何 1.2　空间向量在立体几何中的应用 1.2.4　二面角 学习任务 1．了解二面角的有关概念，理解二面角及二面角的平面角的定义．(数学抽象) 2．掌握求二面角大小的基本方法及步骤．(直观想象、逻辑推理) 3．能结合图形，灵活选择方法解决与二面角有关的问题．(逻辑推理) 地球绕太阳公转的轨道平面称为“黄道面”，黄道面与地球赤道面的交角(二面角的平面角)为23°26′.黄道面与天球相交的大圆称为“黄道”．黄道及其附近的南北宽9°以内的区域称为黄道带，太阳及大多数行星在天球上的位置常在黄道带内．黄道带内有十二个星座，称为“黄道十二宫”．从春分(节气)点起，每30°便是一宫， 并冠以星座名，如白羊座、狮子座、双子座等， 这便是星座的由来．今天我们研究的问题便是如 何计算二面角的大小． 必备知识·情境导学探新知 知识点1　二面角的定义及相关概念 (1)半平面：平面内的一条直线把一个平面分成两部分，其中的_____都称为一个半平面． (2)二面角：从一条直线出发的_____所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的____，这两个平面称为二面角的面．棱为l，两个面分别为α，β的二面角，记作_____，若A∈α，B∈β，则二面角也可以记作_____，二面角的范围为_____． 每一部分 两个半平面 棱 α-l-β A-l-B [0，π] (3)二面角的平面角：如图，在二面角α-l-β的棱上_____，以O为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB，则∠AOB称为二面角α-l-β的平面角． 任取一点O 提醒　(1)二面角的大小等于它的平面角大小，平面角是直角的二面角称为直二面角． (2)两个相交平面所成的角是指两个相交平面所形成的四个二面角中，不小于0°且不大于90°的角． 思考　如何找二面角的平面角？ [提示]　(1)定义法 由二面角的平面角的定义可知平面角的顶点可根据具体题目选择棱上一个特殊点，求解用到的是解三角形的有关知识． (2)垂面法 作(找)一个与棱垂直的平面，与两平面的交线就构成了平面角． (3)三垂线定理(或逆定理)作平面角，这种方法最为重要，其作法与三垂线定理(或逆定理)的应用步骤一致． (4)射影面积公式法 已知平面β内一个多边形的面积为S，它在平面α内的射影图形的面积为S′，平面α和平面β所成的二面角的大小为θ，则cos θ＝. 知识点2　用空间向量求二面角的大小 如果n1，n2分别是平面α1，α2的一个法向量，设α1与α2所成角的大小为θ，则θ＝_____或θ＝_____，sin θ＝_____． 〈n1，n2〉 π－〈n1，n2〉 sin 〈n1，n2〉 提醒　二面角的大小与其两个半平面的法向量的夹角大小相等或互补． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)二面角是指两个平面相交的图形． (　　) (2)二面角的平面角的两条边分别在二面角的两个面内且都与棱垂直． (　　) (3)两个半平面的法向量的夹角的大小与二面角的大小相等． (　　) × √ × [提示]　(1)×　二面角是指从一条直线出发的两个半平面所组成的图形． (2)√　根据二面角的平面角的定义可得． (3)×　相等或互补． 2．在三棱锥A-BCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1，n2，若〈n1，n2〉＝，则二面角A-BD-C的大小为(　　) A．　　　B．　　　C．或　　D．或 √ C　[当二面角A-BD-C为锐角时，它就等于〈n1，n2〉＝； 当二面角A-BD-C为钝角时，它应等于π－〈n1，n2〉＝π－＝.] 3．如图在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝1，M为AC的中点，沿BM把它折成二面角，折后A与C的距离为1，则二面角C-BM-A的大小为(　　) A．30°　　　B．60°　　　 C．90°　　　D．120° √ C　[在△ABC中， ... ...