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课件网) 复习任务群一 现代文阅读Ⅰ 把握共性之“新” 打通应考之“脉” 第一章 空间向量与立体几何 章末综合提升 巩固层·知识整合 类型1 空间向量的表示及运算 1．空间向量的概念及运算是由平面向量延伸而来的，要用类比的思想去掌握．在空间向量的加、减、数乘等线性运算中，要选择适当的向量为基底，用基向量表示出相关向量后再进行向量的运算，同时还要以相应的图形为指导． 提升层·题型探究 2．解决一个向量由其他几个向量来表示的问题，通常是利用向量的三角形法则、平行四边形法则和共线向量的特点，把所求的向量逐步分解，最终归结为基向量来表示． 3．牢记平面向量基本定理和空间向量基本定理，提升逻辑推理、直观想象、数学运算素养． 【例1】 (1)在三棱锥P-ABC中，△PAB和△ABC都是等边三角形，AB＝2，PC＝1，D为棱AB上一点，则的值为( ) A． B．1 C． D．与D点位置有关 √ (2)在空间四边形OABC中，E，F分别是AB，BC的中点，H是EF上一点，且EH＝EF.记＝x＋y＋z，则有序数对(x，y，z)＝_____，若⊥⊥，∠BOC＝，且||＝||＝||＝1，则||＝_____. (3)已知a＝(1，2，－1)，b＝(－2，4，2)． ①若a∥c，且|c|＝2，求c的坐标； ②若(ka＋b)⊥(a－2b)，求实数k的值． [(1)如图所示， 取AB的中点E，连接PE，CE，因为△PAB和△ABC都是等边三角形， 所以PE⊥AB，CE⊥AB，因为PE∩CE＝E，所以AB⊥平面PEC，因为PC 平面PEC， (1)A (2) 所以AB⊥PC，在△APC中，AP＝AC＝2，PC＝1，由余弦定理知 cos ∠APC＝＝＝， 所以＝()·＝＝＝2×1×＝. (2)由E，F分别是AB，BC的中点， 所以＝)，＝)， 故＝，又因为H是EF上一点，且EH＝EF，故＝， 所以＝＝，故有序数对(x，y，z)＝. 因为⊥⊥，∠BOC＝， 且||＝||＝||＝1， 故＝0，＝0，＝， 又因为＝， 故||＝＝.] (3)[解] ①因为|a|＝，a∥c，且|c|＝2，所以c＝2a或c＝－2a，所以c＝(2，4，－2)或c＝(－2，－4，2)． ②因为ka＋b＝(k，2k，－k)＋(－2，4，2)＝(k－2，2k＋4，2－k)，a－2b＝(1，2，－1)－(－4，8，4)＝(5，－6，－5)， 由(ka＋b)⊥(a－2b)得(ka＋b)·(a－2b)＝0， 即5(k－2)－6(2k＋4)－5(2－k)＝0，解得k＝－22. 类型2 利用空间向量证明平行与垂直 1．证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量． 2．证明线面平行的方法 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直． (2)能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线． (3)利用共面向量定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量． 3．证明面面平行的方法 (1)转化为线线平行、线面平行处理． (2)证明这两个平面的法向量是共线向量． 4．证明两条直线垂直，只需证明这两条直线的方向向量垂直． 5．证明线面垂直的方法 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量． (2)证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量互相垂直． 6．证明面面垂直的方法 (1)转化为证明线面垂直． (2)证明两个平面的法向量互相垂直． 7．借助空间向量法证明平行、垂直问题，提升逻辑推理、数学运算素养． 【例2】 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．证明： (1)BE⊥DC； (2)BE∥平面PAD； (3)平面PCD⊥平面PAD. [证明] 因为PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，以点A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系． 可得B(1，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，由E为PC的中点，得E(1，1，1)． (1)＝(0，1，1)，＝(2，0，0)，故＝0，所以BE⊥DC. (2)因为PA⊥平面ABCD，AB 平面ABCD，所以AB⊥PA， 因为AB⊥AD，PA ... ...
