【学霸笔记：同步精讲】第二章 2.6 2.6.2 双曲线的几何性质 课件--2026版高中数学人教B版选必修1

(课件网) 复习任务群一 现代文阅读Ⅰ 把握共性之“新”　打通应考之“脉” 第二章 平面解析几何 2.6　双曲线及其方程 2.6.2　双曲线的几何性质 学习任务 1．了解双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等)．(直观想象) 2．理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程．(数学抽象) 3．能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题．(数学运算) 我们知道，椭圆是一条封闭的曲线，而双曲线是两支“开放式”的曲线，椭圆既是中心对称图形，又是轴对称图形，它有四个顶点，离心率的范围是(0，1)，它的大小决定着椭圆的扁圆程度．双曲线和椭圆有着相似之处，那双曲线又有怎样的性质呢？让我们一起对双曲线的性质进行探究吧！ 必备知识·情境导学探新知 知识点1　双曲线的几何性质 标准方程 性质 图形 焦点 _____ _____ 焦距 __ 范围 _____或_____，y∈__ _____或_____，x∈___ (－c，0)，(c，0) (0，－c)，(0，c) 2c x≤－a x≥a R y≤－a y≥a R 标准方程 性质 对称性 对称轴：_____；对称中心：_____ 顶点 _____ _____ 轴 实轴：线段_____，长：___； 虚轴：线段_____，长：___ 离心率 e＝___∈_____ 渐近线 _____ _____ 坐标轴 原点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) A1A2 2a B1B2 2b (1，＋∞) y＝± x 思考1．能否用a，b表示双曲线的离心率？ [提示]　能．e＝． 思考2．双曲线＝1(a>0，b>0)的渐近线斜率的绝对值与离心率e有何关系？双曲线的离心率e的几何意义是什么？ [提示]　由等式c2＝a2＋b2，得． 因此e越大，也越大，即渐近线y＝±x的斜率的绝对值越大，这时双曲线的开口就越大，因此离心率e可以用来表示双曲线开口的广阔程度． 知识点2　等轴双曲线 实轴长与虚轴长____的双曲线称为等轴双曲线，它的渐近线方程是_____，离心率e＝____． 提醒 等轴双曲线方程的特征是a＝b，则等轴双曲线的方程可以设为x2－y2＝λ(λ≠0)，当λ>0时，焦点在x轴上；当λ<0时，焦点在y轴上． 相等 y＝±x × √ 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)双曲线＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝． (　　) (2)双曲线＝1与＝1(a＞0，b＞0)的形状相同． (　　) [提示]　(1)由＝1，得y＝±x， 所以渐近线方程为y＝±x． (2)双曲线＝1与＝1(a＞0，b＞0)的位置不一样，但是形状相同． 2．等轴双曲线的一个焦点是F1(－6，0)，则它的标准方程是(　　) A．＝1　　 B．＝1 C．＝1 　 D．＝1 √ B　[因为等轴双曲线的一个焦点是F1(－6，0)， 所以设等轴双曲线的标准方程为＝1，a＞0， 且a2＋a2＝36，解得a2＝18． 故等轴双曲线的标准方程是＝1．] 3．已知双曲线的方程为＝1，则该双曲线的离心率e等于_____． 　[] 　 关键能力·合作探究释疑难 类型1　根据双曲线的方程研究其几何性质 【例1】　【链接教材P153例1】 求双曲线＝1的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、渐近线方程和离心率． [解]　由双曲线方程可得实半轴长a＝3，虚半轴长b＝4， c＝＝5，于是焦点坐标为(－5，0)，(5，0)． 渐近线方程为y＝±x＝±x，离心率e＝． [母题探究]　(变条件)若将双曲线的方程变为nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)，求双曲线的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程． [解]　把方程nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)化为标准方程＝1(m＞0，n＞0)，由此可知，实半轴长a＝，虚半轴长b＝；c＝，焦点坐标为； 离心率e＝； 顶点坐标为； 渐近线方程为y＝±x，即y＝±x． 【教材原题·P153例1】 【例1】　求下列方程表示的双曲线的实轴长、焦点坐标、离心率以及渐近线方程： (1)＝1； (2)x2－y2＝－9． [解]　(1)由标准方程可知双曲线的焦点在x轴上，且a2＝9，b2＝16，因此 ... ...