【学霸笔记：同步精讲】第二章 探究课4 圆系方程及其应用 讲义--2026版高中数学人教B版选必修1

　圆系方程及其应用 圆系与圆系方程 具有某种共同性质的圆的集合，称为圆系． (1)同心圆系方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2(r≠0)， x0，y0为常数，r为参数． (2)圆心共线且半径相等的圆系方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2，r为常数且r≠0，圆心(x0，y0)在直线ax＋by＋c＝0上移动． (3)过两个已知圆fi(x，y)＝x2＋y2＋Dix＋Eiy＋Fi＝0(i＝1，2)的交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)，即f1(x，y)＋λf2(x，y)＝0(λ≠－1)． 注意：当λ＝－1时，方程变为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0，当两圆是同心圆时，此直线不存在；当两圆相交时，此直线为公共弦所在直线；当两圆相切时，此直线为两圆的内公切线；当两圆相离时，此直线为与两圆心连线垂直的直线． (4)过直线与圆交点的圆系方程 设直线l：Ax＋By＋C＝0与圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交，则方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0表示过直线l与圆C的两个交点的圆系方程． 灵活运用圆系方程解题，可以起到简化计算的目的． 【典例】　求圆心在直线x－y－4＝0上，且过两圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　利用圆系方程求圆的方程的步骤 (1)设出圆系方程． (2)将圆系方程化成需要的形式(一般方程或标准方程)． (3)根据其他条件将圆系方程中的参数求解出来． (4)写出圆的方程． 求过直线2x＋y＋4＝0和圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的交点，且面积最小的圆的方程． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2/2