【学霸笔记：同步精讲】第二章 微专题2 直线与圆的定值(定点)、最值(范围)问题 讲义--2026版高中数学人教B版选必修1

微专题2　直线与圆的定值(定点)、最值(范围)问题 1．定值问题的处理方法 (1)从特殊值入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． (2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定值． 2．最值问题的处理方法 (1)当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为d＋r，最小距离为d－r；当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大距离为d＋r，最小距离为r－d(其中d为圆心到直线的距离，r为圆的半径)． (2)经过圆内一点的最长弦就是经过这点的直径，过这点与最长弦垂直的弦就是最短弦． (3)对于求含有分式型的代数式的最值，可以考虑利用斜率的几何意义． (4)求形如y＋ax的代数式的最值，设y＋ax＝b，考虑利用直线在y轴上的截距来求． 类型1　定值问题 【例1】　已知圆C：x2＋y2＝16，直线l：3x－4y＋5＝0． (1)求与圆C相切，且与直线l垂直的直线的方程． (2)已知点A(0，6)，在直线OA上(O为坐标原点)是否存在定点B(不同于点A)，满足对圆C上任一点P，都有为定值？若存在，求点B的坐标；若不存在，请说明理由． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 类型2　定点问题 【例2】　已知圆M：x2＋(y－4)2＝4，P是直线l：x－2y＝0上的动点，过点P作圆M的切线PA，切点为A． (1)当切线PA的长度为2时，求点P的坐标． (2)若△PAM的外接圆为圆N，试问：当点P运动时，圆N是否过定点？若过定点，求出所有的定点的坐标；若不过定点，请说明理由． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 类型3　最值(范围)问题 【例3】　已知直线l经过点P(－2，3)，且其倾斜角α的余弦值为． (1)求直线l的方程； (2)判断直线l与圆C：_____的位置关系；如果相交，记交点为A，B，求经过A，B两点的圆的面积的最小值；如果相离，过直线l上的点E作圆C的切线，切点为F，求EF长的最小值． 现给出两个条件：①(x＋3)2＋y2＝25；②(x－2)2＋y2＝16，从中选出一个条件填在横线上，写出一种方案即可． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2/2 ... ...