【学霸笔记：同步精讲】第一章 1.1 1.1.1 空间向量及其运算 讲义--2026版高中数学人教B版选必修1

1.1　空间向量及其运算 1.1.1　空间向量及其运算 学习任务 1．了解空间向量、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、相等向量、平行向量、共面向量等概念．(数学抽象) 2．会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差，掌握数乘向量运算的意义及运算律．(数学运算) 3．掌握两个向量数量积的概念、性质及运算律．(数学运算、逻辑推理) 国庆节期间，某游客从上海世博园(O)游览结束后乘车到外滩(A)观赏黄浦江，然后抵达东方明珠(B)游玩，如图(1)，游客的实际位移是什么？可以用什么数学概念来表示这个过程？如果游客还要登上东方明珠顶端(D)俯瞰上海美丽的夜景，如图(2)，那实际发生的位移是什么？又如何表示呢？ 　 知识点1　空间向量的概念 (1)定义：空间中既有_____又有_____的量． (2)模(或长度)：向量的_____． (3)表示方法： ①几何表示法：可以用_____来直观地表示向量，如始点为A终点为B的向量，记为，模为||. ②字母表示法：在印刷时，用加粗的斜体小写字母如a，b，c，…表示；在书写时，用带箭头的小写字母，，，…来表示．模为|a|，|b|，|c|，…或||，||，||…. (4)几类特殊的向量 名称 定义及表示 零向量 _____和_____相同的向量，记作0 单位向量 模等于___的向量 相等向量 大小_____、方向_____的向量 相反向量 方向_____，大小_____的向量 平行向量 方向_____或者_____的两个非零向量，通常规定零向量与任意向量平行 共面向量 一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移后，都能在_____内，则称这些向量共面 1．0与0有何区别？ _____ (1)向量的模可以比较大小，而两个向量可以相等但不可以比较大小． (2)通常规定零向量与任意向量平行，研究向量平行(共线)问题时勿遗漏这一特殊情况．例如，“a∥b，b∥c，则a∥c”这是一个假命题． 知识点2　空间向量的线性运算 空间 向量 的运 算 加法 a＋b＝ 减法 a－b＝ 数乘 当λ>0时，λa＝＝λ， 当λ＝0时，λa＝0， 当λ<0时，λa＝＝λ 加法与 数乘运 算律 (1)加法交换律：a＋b＝b＋a； (2)加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)； (3)分配律：λa＋μa＝(λ＋μ)a， λ(a＋b)＝λa＋λb 2．空间两个向量的加减法与平面内两个向量的加减法完全一致吗？ _____ 三个不共面的向量的和，等于以这三个向量为邻边的平行六面体中，与这三个向量有共同始点的体对角线所表示的向量． 知识点3　空间向量的数量积 (1)空间向量的夹角 如果〈a，b〉＝，则称向量a与b_____，记作_____． 对空间两个向量夹角的理解，应注意以下几点： (1)由概念知两个非零向量才有夹角，零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定零向量与任意向量都垂直． (2)对空间任意两个非零向量a，b，有 ①〈a，b〉＝〈b，a〉＝〈－a，－b〉＝〈－b，－a〉． ②〈a，－b〉＝〈－a，b〉＝π－〈a，b〉． ③〈〉＝〈〉＝π－〈〉． (2)空间向量的数量积的定义 已知两个非零向量a，b，则_____称为a，b的数量积(或内积)，记作_____． (3)空间向量数量积的几何意义 ①向量的投影 如图所示， 过向量a的始点和终点分别向b所在的直线作垂线，即可得到向量a在向量b上的_____． ②数量积的几何意义：a与b的数量积等于a在b上的_____与b的长度的乘积，特别地，a与单位向量e的数量积等于a在e上的投影a′的数量．规定零向量与任意向量的数量积为___． (4)空间向量的数量积的性质 ①a⊥b a·b＝0. ②a·a＝|a|2＝a2. ③|a·b|≤|a||b|. ④(λa)·b＝λ(a·b)． ⑤a·b＝b·a(交换律)． ⑥(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． 3.空间向量的数量积的运算符号“·”能省略吗？能写成“×”吗？ _____ 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)空间向量就是空间中的一条有向线段． (　　) (2)任意两个空间向量可以 ... ...