【学霸笔记：同步精讲】第一章 1.1 1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系 讲义--2026版高中数学人教B版选必修1

1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系 学习任务 1．掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标．(数学抽象) 2．掌握空间向量的坐标运算．(数学运算) 3．掌握空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直的关系．(逻辑推理) 4．理解空间直角坐标系的定义、建系方法，以及空间的点的坐标确定方法并能简单运用．(数学抽象) 天上的飞机速度非常快，有很多飞机时速都在1 000 km以上，而全世界飞机这么多，这些飞机在空中风驰电掣，速度是如此的快，岂不是很容易撞机？但事实上，飞机的失事率是极低的，比火车、汽车要低得多，原因是飞机都是沿着国际统一划定的航线飞行，而在划定某条航线时，不仅要指出航线在地面上的经度和纬度，还要指出航线距离地面的高度．只给飞机所在位置的经度和纬度，能确定飞机的位置吗？要确定飞机的位置，还需要知道什么？ 知识点1　空间向量的坐标 一般地，如果空间向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3都是单位向量，而且这三个向量_____，就称这组基底为_____基底；在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解，而且，如果p＝xe1＋ye2＋ze3，则称有序实数组_____为向量p的坐标，记作p＝_____，其中x，y，z都称为p的坐标分量． 1．若a＝xe1＋ye2＋ze3，则a的坐标一定是(x，y，z)吗？ _____ 知识点2　空间向量的运算与坐标的关系 假设空间中两个向量a，b满足a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则有以下结论： (1)a＋b＝_____． (2)如果u，v是两个实数，那么ua＋vb＝_____． (3)a·b＝_____． (4)|a|＝＝_____． (5)当a≠0且b≠0时，cos 〈a，b〉＝＝_____． 2．若向量＝(x，y，z)，则点B的坐标一定是(x，y，z)吗？ _____ 知识点3　空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直 (1)a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)．当a≠0时，a∥b _____ (x2，y2，z2)＝λ(x1，y1，z1) 当a的每一个坐标分量都不为零时，有a∥b _____． (2)a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＋z1z2＝0. 知识点4　空间直角坐标系 (1)在空间中任意选定一点O作为坐标原点，选择合适的平面先建立平面直角坐标系xOy，然后过O作一条与_____垂直的数轴z轴．这样建立的空间直角坐标系记作Oxyz. (2)在空间直角坐标系Oxyz中，x轴、y轴、z轴是两两互相_____的，它们都称为坐标轴，通过每两个坐标轴的平面都称为_____． (3)z轴正方向的确定：在z轴的正半轴看xOy平面，x轴的正半轴绕O点沿_____方向旋转90°能与y轴的正半轴重合． (4)空间直角坐标系的画法：在平面内画空间直角坐标系Oxyz时，一般把x轴、y轴画成水平放置，x轴正方向与y轴正方向夹角为_____，z轴与y轴(或x轴)_____． (5)空间中一点的坐标：空间一点M的坐标可用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)称为点M在此空间直角坐标系中的坐标，其中x称为点M的_____，y称为点M的_____，z称为点M的_____． 点的坐标与向量的坐标表示方法不同，如点A(x，y，z)，向量a＝(x，y，z)． (6)三个坐标平面将不在坐标平面内的点分成了八个部分，如图所示，每一部分都称为一个卦限，按逆时针方向，在坐标平面xOy的上方，分别是第Ⅰ卦限、第Ⅱ卦限、第Ⅲ卦限、第Ⅳ卦限，在xOy的下方，分别是第Ⅴ卦限、第Ⅵ卦限、第Ⅶ卦限、第Ⅷ卦限．根据点的坐标的特征，第Ⅰ卦限的点集用集合可表示为_____． 知识点5　空间向量坐标的应用 空间两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，线段AB的中点M(x，y，z) 的坐标公式 ＝_____ 空间中两点之 间的距离公式 AB＝||＝ 中点坐标公式 ＝(x，y，z)＝_____ 1．已知向量a＝(3，－2，1)，b＝(－2，4，0)，则4a＋2b＝(　　) A．(16，0，4)　　　　　　　 B．(8，－16，4) C．(8，16，4) D．(8，0，4) 2．已知向量a＝(2，－1，3)，b＝(－4，2，x)，使a⊥b成立的x与使a ... ...