【学霸笔记：同步精讲】第一章 1.2 1.2.2 空间中的平面与空间向量 讲义--2026版高中数学人教B版选必修1

1.2.2　空间中的平面与空间向量 学习任务 1．理解平面的法向量的概念，会求平面的法向量．(数学抽象) 2．会用平面的法向量、直线的方向向量证明直线与平面、平面与平面的平行、垂直问题．(数学运算、逻辑推理) 3．理解并会应用三垂线定理及其逆定理证明有关垂直问题．(逻辑推理) 牌楼，与牌坊类似，是中国传统建筑之一，最早见于周朝，在园林、寺观、宫苑、陵墓和街道常有建造．旧时牌楼主要有木、石、木石、砖木、琉璃等几种，多设于要道口．牌楼中有一种柱门形结构，一般较高大．牌楼的柱子与地面是垂直的，如果牌楼上部的下边线与柱子垂直，我们就能知道下边线与地面平行．这是为什么呢？ 知识点1　平面的法向量 (1)定义：如果α是空间中的一个平面，n是空间中的一个_____向量，且表示n的有向线段所在的直线与平面α_____，则称n为平面α的一个法向量．此时也称n与平面α垂直，记作_____． (2)性质：如果A，B是平面α上的任意不同两点，n为平面α的一个法向量，则 1 若直线l垂直平面α，则l的任意一个方向向量都是平面α的法向量 2 对任意实数λ≠0，λn也是平面α的一个法向量 3 向量一定与n_____，即·n＝0 平面α的法向量唯一吗？它们有什么共同特征？ _____ 知识点2　空间线面位置关系与空间向量 (1)如果v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，当n∥v时，l与α_____；当n⊥v时，l与α_____，或者l在α内． (2)如果n1是平面α1的一个法向量，n2是平面α2的一个法向量，当n1⊥n2时，α1与α2_____；当n1∥n2时，α1与α2_____，或者α1与α2_____． 知识点3　三垂线定理及其逆定理 (1)三垂线定理：如果平面内的一条直线与平面的_____在该平面内的_____垂直，则它也和这条_____垂直． (2)三垂线定理的逆定理：如果平面内的_____和这个平面的_____垂直，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直． 1．已知平面α内有两点M(1，－1，2)，N(a，3，3)，平面α的一个法向量为n＝(6，－3，6)，则a＝(　　) A．4　　　　B．3　　　　C．2　　　　D．1 2．平面α的一个法向量为a＝(1，2，0)，平面β的一个法向量为b＝(2，－1，0)，则平面α与平面β的位置关系为(　　) A．平行 B．相交但不垂直 C．垂直 D．不能确定 3．空间中三点A(0，1，0)，B(2，2，0)，C(－1，3，1)，平面ABC的一个法向量是_____． 4．已知PO⊥平面ABC，且O为△ABC的垂心，则AB与PC的位置关系是_____． 类型1　求平面的法向量 【例1】　(源自人教A版教材例题)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，CC1＝2，M是AB的中点，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． (1)求平面BCC1B1的法向量； (2)求平面MCA1的法向量． [思路导引]　(1)平面BCC1B1与y轴垂直，其法向量可以直接写出；(2)平面MCA1可以看成由中的两个向量所确定，运用法向量与它们的垂直关系，可转化为数量积运算求得法向量． [尝试解答]_____ _____ 　利用待定系数法求法向量的解题步骤 [跟进训练] 1．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，E为BB1的中点，F为A1D1的中点，则下列向量能作为平面AEF的法向量的是(　　) A．(1，－2，4) B．(－4，1，－2) C．(2，－2，1) D．(1，2，－2) 类型2　利用法向量证明空间中的位置关系 　向量法证明平行问题 【例2】　【链接教材P39例1】 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证： (1)FC1∥平面ADE； (2)平面ADE∥平面B1C1F. [尝试解答]_____ _____ 　证明线面、面面平行问题的方法 (1)用向量法证明线面平行：①证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内．②证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直 ... ...