【学霸笔记：同步精讲】第一章 1.2 1.2.4 二面角 讲义--2026版高中数学人教B版选必修1

1.2.4　二面角 学习任务 1．了解二面角的有关概念，理解二面角及二面角的平面角的定义．(数学抽象) 2．掌握求二面角大小的基本方法及步骤．(直观想象、逻辑推理) 3．能结合图形，灵活选择方法解决与二面角有关的问题．(逻辑推理) 地球绕太阳公转的轨道平面称为“黄道面”，黄道面与地球赤道面的交角(二面角的平面角)为23°26′.黄道面与天球相交的大圆称为“黄道”．黄道及其附近的南北宽9°以内的区域称为黄道带，太阳及大多数行星在天球上的位置常在黄道带内．黄道带内有十二个星座，称为“黄道十二宫”．从春分(节气)点起，每30°便是一宫，并冠以星座名，如白羊座、狮子座、双子座等，这便是星座的由来．今天我们研究的问题便是如何计算二面角的大小． 知识点1　二面角的定义及相关概念 (1)半平面：平面内的一条直线把一个平面分成两部分，其中的_____都称为一个半平面． (2)二面角：从一条直线出发的_____所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的____，这两个平面称为二面角的面．棱为l，两个面分别为α，β的二面角，记作_____，若A∈α，B∈β，则二面角也可以记作_____，二面角的范围为_____． (3)二面角的平面角：如图，在二面角α-l-β的棱上_____，以O为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB，则∠AOB称为二面角α-l-β的平面角． (1)二面角的大小等于它的平面角大小，平面角是直角的二面角称为直二面角． (2)两个相交平面所成的角是指两个相交平面所形成的四个二面角中，不小于0°且不大于90°的角． 如何找二面角的平面角？ _____ 知识点2　用空间向量求二面角的大小 如果n1，n2分别是平面α1，α2的一个法向量，设α1与α2所成角的大小为θ，则θ＝_____或θ＝_____，sin θ＝_____． 二面角的大小与其两个半平面的法向量的夹角大小相等或互补． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)二面角是指两个平面相交的图形． (　　) (2)二面角的平面角的两条边分别在二面角的两个面内且都与棱垂直． (　　) (3)两个半平面的法向量的夹角的大小与二面角的大小相等． (　　) 2．在三棱锥A-BCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1，n2，若〈n1，n2〉＝，则二面角A-BD-C的大小为(　　) A．　　　B．　　　C．或　　D．或 3．如图在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝1，M为AC的中点，沿BM把它折成二面角，折后A与C的距离为1，则二面角C-BM-A的大小为(　　) A．30°　　　B．60°　　　C．90°　　　D．120° 4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角A1-BD-C1的余弦值是_____． 类型1　用定义法求二面角的大小 【例1】　【链接教材P50例1】 如图，设AB为圆锥PO的底面直径，PA为母线，点C在底面圆周上，若△PAB是边长为2的正三角形，且CO⊥AB，求二面角P-AC-B的正弦值． [尝试解答]_____ _____ 　用定义法求二面角的步骤 (1)作(找)出二面角的平面角(作二面角时多用_____定理或三垂线定理的逆定理)． (2)证明所作平面角即为所求二面角的平面角． (3)通过_____求角． [跟进训练] 1．如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD. (1)证明：AB⊥平面VAD； (2)求二面角A-VD-B的正切值． _____ 类型2　用向量法求二面角 【例2】　【链接教材P52例3、P53例4】 如图所示，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形． (1)证明：O1O⊥底面ABCD； (2)若∠CBA＝60°，求平面OC1B1与平面OB1D所成角的余弦值． [尝试解答]_____ _____ [母题探究] (变问法)本例(2)条件不变，求平面A1BC与平面A1CD所成角的余弦值． [尝试解答]_____ _____ 　1.确定二面角与两个平面的法向量所成角的大小关系的方法 (1)观察法，通 ... ...