【学霸笔记：同步精讲】第一章 1.2 1.2.5 空间中的距离 讲义--2026版高中数学人教B版选必修1

1.2.5　空间中的距离 学习任务 1．理解图形与图形的距离的概念．(数学抽象) 2．理解空间中两点之间的距离、点到直线的距离、点到平面的距离、直线与平面之间的距离以及两平面之间的距离的概念，会求它们之间的距离．(数学抽象、逻辑推理) 3．会用向量方法求两点间的距离、点到平面的距离、直线到平面的距离和面到面的距离．(逻辑推理、数学运算) 立交桥是伴随高速公路而生的．城市的立交桥不仅大大方便了交通，而且成为城市建设的美丽风景．为了保障车流畅通，使车辆安全通过交叉路口，1928年，美国首先在新泽西州的两条道路交叉处修建了第一座苜蓿叶形公路交叉桥.1930年，芝加哥建起了一座立体交叉桥.1931年至1935年，瑞典陆续在一些城市修建起立体交叉桥．从此，城市交通开始从平地走向立体． 问题：在设计过程中工程师需要计算出上、下纵横高速公路之间的距离、立交桥上的高速公路与地面之间的距离，工程师如何计算出来？ 知识点1　空间中两点之间的距离 空间中两点之间的距离指的是这_____． 知识点2　点到直线的距离 给定空间中一条直线l及l外一点A，因为l与A能确定_____，所以过A可以作直线l的一条_____，这条_____称为点A到直线l的距离． 1．如何用向量法求点到直线的距离？ _____ 是s同方向的单位向量，点A到直线l的距离公式也可以写成d＝. 知识点3　点到平面的距离 (1)给定空间中一个平面α及α外一点A，过A可以作平面α的一条垂线段，_____称为点A到平面α的距离． (2)一般地，若A是平面α外一点，B是平面α内一点，n是平面α的一个法向量，则点A到平面α的距离为d＝_____. 知识点4　相互平行的直线与平面之间、相互平行的平面与平面之间的距离 (1)当直线与平面平行时，直线上_____称为这条直线与这个平面之间的距离．如果直线l与平面α平行，n是平面α的一个法向量，A，B分别是l上和α内的点，则直线l与平面α之间的距离为d＝. (2)当平面与平面平行时，一个平面内_____到另一个平面的距离称为这两个平行平面之间的距离． 如果平面α与平面β平行，n是平面β的一个法向量，A和B分别是平面α和平面β内的点，则平面α和平面β之间的距离为_____． (3)与两个平行平面同时垂直的直线，称为这两个平面的_____．公垂线夹在平行平面间的部分，称为这两个平面的_____． 2．线面距、面面距与点面距有什么关系？ _____ 1．在平面直角坐标系中，A(－2，3)，B(3，－2)，沿x轴把平面直角坐标系折成120°的二面角，则AB的长为(　　) A．　　　B．2　　C．3　　　D．4 2．已知直线l过定点A(2，3，1)，且方向向量为s＝(0，1，1)，则点P(4，3，2)到l的距离d为(　　) A． B． C． D． 3．(教材P61练习B T5改编)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为上底面A1B1C1D1和侧面CDD1C1的中心，则点C到平面AEF的距离为(　　) A． B． C． D． 4．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为 (　　) A． B． C． D． 类型1　空间中两点间的距离 【例1】　【链接教材P55例1】 (1)如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝，E，F分别是平面A1B1C1D1，平面BCC1B1的中心，则E，F两点间的距离为(　　) A．1　　　　B．　　　　C．　　　　D． (2)如图，空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，点M，N分别是边AB，CD的中点，则MN的长为_____. 　计算两点间的距离的两种方法 (1)把线段用向量表示，利用_____，通过向量运算求|a|，如求A，B两点间的距离，一般用|AB|＝_____求解． (2)求解的图形适宜建立空间直角坐标系时，用坐标法求向量的长度(或两点间距离)． [跟进训练] 1．如图，已知在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°，则线段AC1的长为(　　) A ... ...