【学霸笔记：同步精讲】第二章 2.2.4 点到直线的距离 讲义--2026版高中数学人教B版选必修1

2.2.4　点到直线的距离 学习任务 1．掌握点到直线的距离公式并能灵活运用此公式解决距离问题．(逻辑推理、数学运算) 2．会求两条平行直线之间的距离．(数学运算) 在铁路的附近，有一大型仓库，现要修建一条公路与之连接起来，易知，从仓库垂直于铁路方向所修的公路最短．将铁路看作一条直线l，仓库看作点P． 问题1　若已知直线l的方程和点P的坐标(x0，y0)，如何求P到直线l的距离？ 问题2　如果利用一个向量在另一个向量上的投影，如何求点到直线的距离？ 知识点1　点到直线的距离 (1)定义：平面内点到直线的距离，等于过这个点作直线的垂线所得_____的长度． (2)公式：直线外一点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝_____． 应用点到直线的距离公式时，直线方程应为一般式，若给出其他形式，则先化成一般式再用公式求解． 知识点2　两条平行直线之间的距离 (1)两条平行线之间的距离，等于其中一条直线上_____到另一条直线的_____． (2)两条平行直线间的距离转化为点到直线的距离． (3)两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝_____． 使用两条平行直线间的距离公式时，直线的方程必须是一般式，而且方程中x，y的系数分别对应相等，对于系数不同的方程，应先将系数化为相等后再求距离． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)点P(x0，y0)到与x轴平行的直线y＝b(b≠0)的距离d＝y0－b． (　　) (2)两直线x＋y＝m与x＋y＝2n的距离为． (　　) (3)两直线2x＋2y＝m与x＋y＝2n的距离为． (　　) 2．点(2，0)到直线x＋y＋2＝0的距离为(　　) A． B．2 C．3　 D．4 3．若第二象限内的点P(m，1)到直线x＋y＋1＝0的距离为，则m的值为_____． 4．两条平行直线5x＋12y－1＝0，5x＋12y－10＝0之间的距离为_____． 类型1　点到直线的距离 【例1】　(源自北师大版教材例题)求点P(－2，1)到下列直线的距离： (1)3x＋4y－1＝0； (2)y＝2x＋3； (3)2x＋5＝0． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　点到直线的距离的求解方法 (1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为_____方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可． (2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线x＝a或y＝b，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d＝_____或d＝_____． [跟进训练] 1．(1)若O(0，0)，A(4，－1)两点到直线ax＋a2y＋6＝0的距离相等，则实数a＝_____． (2)已知点P(2，3)，点Q是直线l：3x＋4y＋2＝0上的动点，则|PQ|的最小值为_____ ． 类型2　两条平行线之间的距离 【例2】　【链接教材P100例2】 (1)两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为_____． (2)求到直线3x－4y＋1＝0的距离为3，且与此直线平行的直线方程． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 ... ...