【学霸笔记：同步精讲】第二章 2.3 2.3.1 圆的标准方程 讲义--2026版高中数学人教B版选必修1

2.3　圆及其方程 2.3.1　圆的标准方程 学习任务 1．会用定义推导圆的标准方程并掌握圆的标准方程的特征．(数学抽象) 2．掌握点与圆的位置关系．(直观想象) 3．能根据所给条件求圆的标准方程．(数学运算) 我们的祖先很早就掌握了建桥技术，现存最早的拱桥是由著名工匠李春设计建造于1 400多年前、横跨在我国河北赵县的洨河上的赵州桥．赵州桥又名安济桥，全长50多米，拱圆净跨37米多，是一座空腹式的圆弧形石拱桥．赵州桥外形秀丽，结构合理，富有民族风格．虽然历经千年风霜及车压人行，但赵州桥至今仍保存完好，被公认为是世界上最古老的拱桥．由桥拱的一部分能求出拱桥所在圆的方程吗？ 知识点1　圆的定义 平面内到一定点的距离等于_____的点的集合是圆，其中定点是圆心，定长是圆的半径． 1．确定一个圆需要几个要素？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点2　圆的标准方程 方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)是以点_____为圆心，_____为半径的圆的方程，称为圆的标准方程． 知识点3　点与圆的位置关系 设点P到圆心的距离为d，圆的半径为r，则点与圆的位置关系对应如下： 位置关系 点在圆外 点在圆上 点在圆内 d与r的大小关系 _____ _____ _____ 2．若点P(x0，y0)在圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2上，需要满足(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，那么P在圆C内和圆C外又满足怎样的关系？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)圆(x－1)2＋(y＋1)2＝22的圆心为(－1，1)． (　　) (2)圆心为(2，－1)，半径为的圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝5． (　　) (3)圆x2＋y2＝a2的半径为a． (　　) 2．圆心为点P(－2，3)，并且与x轴相切的圆的方程是(　　) A．(x＋2)2＋(y－3)2＝4 B．(x－2)2＋(y＋3)2＝4 C．(x＋2)2＋(y－3)2＝9 D．(x－2)2＋(y＋3)2＝9 3．点P(m，5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是(　　) A．在圆外　　　　　 B．在圆内 C．在圆上 D．不确定 类型1　直接法求圆的标准方程 【例1】　(1)圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的标准方程为(　　) A．x2＋(y－2)2＝1　　 B．x2＋(y＋2)2＝1 C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1 (2)已知一圆的圆心为点(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上，则此圆的标准方程是(　　) A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13 B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13 C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52 D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52 [思路导引]　(1)设出圆心坐标，利用两点间的距离公式求圆心坐标，再写出圆的标准方程． (2)根据中点坐标公式求出直径两端点坐标，进而求出圆的半径，再写出圆的标准方程． 　直接法求圆的标准方程的方法 确定圆的标准方程只需确定_____和_____，因此用直接法求圆的标准方程时，一般先从确定圆的两个要素入手，即首先求出_____和_____，然后直接写出圆的标准方程． [跟进训练] 1．已知两点P(3，4)，Q(－5，6)，求以PQ为直径的圆C的方程． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 ... ...