【学霸笔记：同步精讲】第二章 2.4 曲线与方程 讲义--2026版高中数学人教B版选必修1

2.4　曲线与方程 学习任务 1．了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系．(数学抽象) 2．理解曲线的方程和方程的曲线的概念．(数学抽象、直观想象) 3．掌握求轨迹方程的几种常用方法．(数学运算) 4．初步学会通过曲线的方程研究曲线的几何性质．(数学抽象、逻辑推理) 笛卡儿被誉为“近代科学的始祖”“近代哲学之父”，他在哲学、数学、物理学、天文学、心理学等方面都有研究且成就颇高．笛卡儿曾给他的恋人写的一封信，内容只有短短的一个公式：r＝a(1－sin θ)．你知道这是何意？其实这就是笛卡儿的爱心函数，图形是心形线，是一个圆上的固定一点在它绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周滚动时所形成的轨迹，因其形状像心形而得名．同学们，你能说出一条曲线和它对应的方程有怎样的关系吗？ 知识点1　曲线的方程与方程的曲线 在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x，y)＝0之间具有如下关系： (1)曲线C上的点的坐标都是方程F(x，y)＝0的_____． (2)以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在_____，则称曲线C为方程F(x，y)＝0的曲线，方程F(x，y)＝0为曲线C的方程． 1．如果曲线与方程仅满足“以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上”，会出现什么情况？举例说明． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2．如果曲线C的方程是F(x，y)＝0，那么点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是什么？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点2　求两条曲线的交点坐标 已知两条曲线C1，C2的方程分别为F(x，y)＝0，G(x，y)＝0，则求两条曲线的交点坐标只需求方程组_____的实数解就可以得到．确定两曲线交点个数问题，可转化为讨论方程组解的组数问题． [拓展]　过两曲线交点的曲线系方程 过两曲线F1(x，y)＝0，F2(x，y)＝0交点的曲线系方程可用F1(x，y)＋λF2(x，y)＝0(λ∈R) 表示，但应注意该方程不能表示曲线F2(x，y)＝0． 知识点3　求动点M轨迹方程的一般步骤 (1)设动点M的坐标为_____(如果没有平面直角坐标系，需先建立)． (2)写出M要满足的几何条件，并将该几何条件用_____表示出来． (3)化简并检验所得方程是否为M的轨迹方程． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线上，则方程F(x，y)＝0，即为曲线C的方程． (　　) (2)方程x＋y－2＝0是以A(2，0)，B(0，2)为端点的线段的方程． (　　) (3)在求曲线方程时，对于同一条曲线，坐标系的建立不同，所得的曲线方程也不一样． (　　) (4)求轨迹方程就是求轨迹． (　　) 2．在平面直角坐标系内到两坐标轴距离之差等于1的动点的轨迹方程是(　　) A．|x|－|y|＝1　　 B．|x－y|＝1 C．||x|－|y||＝1 D．|x±y|＝1 3．笛卡儿、牛顿都研究过方程(x－1)(x－2)(x－3)＝xy，关于这个方程的曲线有下列说法，其中正确的是(　　) A．该曲线关于y轴对称 B．该曲线关于原点对称 C．该曲线不经过第三象限 D．该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数 4．曲线y＝x2与x2＋y2＝5的交点坐标是_____． 类型1　曲线与方程关系的应用 【例1】　已知方程x2＋(y－1)2＝10． (1)判断点P(1，－2)，Q(，3)是否在此方程表示的曲线上； (2)若点M在此方程表示的曲线上，求m的值． [思路导引]　 [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ... ...