【学霸笔记：同步精讲】第二章 2.6 2.6.1 双曲线的标准方程 讲义--2026版高中数学人教B版选必修1

2．6　双曲线及其方程 2．6.1　双曲线的标准方程 学习任务 1．掌握双曲线的定义，会用双曲线的定义解决实际问题．(数学抽象) 2．掌握用定义法和待定系数法求双曲线的标准方程．(数学运算) 3．理解双曲线标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．(逻辑推理、数学运算) 前面学习了椭圆及其几何性质，了解了椭圆形状与离心率e有关，在现实生活中还有一类曲线，与椭圆并称为“情侣曲线”，即双曲线．它的形状在现实中很常见，如发电厂的冷却塔的形状，上、下两头粗，中间细，截面图的形状就是本节要学习的双曲线，它的标准方程和性质又如何？为什么建成这样的双曲线形冷却塔，而不建成竖直的呢？这就需要我们学习与双曲线相关的内容． 知识点1　双曲线的定义 一般地，如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个正常数，且2a__|F1F2|，则平面上满足_____的动点P的轨迹称为双曲线，其中，两个定点F1，F2称为双曲线的____，两个焦点的距离|F1F2|称为双曲线的焦距． 1．(1)如何理解双曲线定义中的“绝对值”？ (2)把“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”或“常数为0”，结果如何？ [提示]　(1)若将“绝对值”去掉，其余条件不变，则动点的轨迹只有双曲线的一支． (2)①若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；②若将“小于|F1F2|”改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹不存在．③若将“小于|F1F2|”改为“常数为0”，其余条件不变，则动点轨迹是线段F1F2的中垂线． 知识点2　双曲线的标准方程 焦点所在 的坐标轴 x轴 y轴 标准方程 ＝1 (a>0，b>0) ＝1 (a>0，b>0) 图形 焦点坐标 (－c，0)，(c，0) (0，－c)，(0，c) a，b，c的关系式 c2＝_____ 2．如何确定双曲线标准方程的类型？ _____ _____ _____ _____ 1．已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中为双曲线的是(　　) A．|PF1|－|PF2|＝±3 B．|PF1|－|PF2|＝±4 C．|PF1|－|PF2|＝±5 D．|PF1|2－|PF2|2＝±4 2．动点P到点M(1，0)及点N(5，0)的距离之差为2a，则当a＝1和a＝2时，点P的轨迹分别是(　　) A．双曲线和一条直线 B．双曲线和一条射线 C．双曲线的一支和一条射线 D．双曲线的一支和一条直线 3．双曲线－y2＝1的焦距为(　　) A．4　　　B．8　　　C．　　　D．2 4．(1)若双曲线方程为＝1，则其焦点在_____轴上，焦点坐标为_____． (2)已知a＝5，c＝10，焦点在y轴上，则双曲线的标准方程为_____． 类型1　求双曲线的标准方程 【例1】　【链接教材P146例1】 根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)a＝4，经过点A； [尝试解答]_____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ (2)与双曲线＝1有相同的焦点，且经过点； (3)过点P且焦点在坐标轴上． [尝试解答]_____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 　用待定系数法求双曲线的标准方程的一般步骤 [跟进训练] 1．求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)焦距为26，且经过点M(0，12)； (2)经过点P1和P2两点． _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 类型2　双曲线标准方程的识别 【例2】　给出曲线方程＝1． (1)若该方程表示双曲线，求实数k的取值范围； (2)若该方程表示焦点在y轴上的双曲线，求实数k的取值范围． [尝试解答]_____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 　方程表示双曲线的条件 (1)对于方程＝1，当mn<0时表示双曲线，进一步来说，当m>0，n<0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m<0，n>0时表示焦点在y轴上的双曲线． (2)对于方程＝1，当mn>0时表示双曲线，且当m>0，n>0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m<0，n<0时表示焦点在y轴上的双曲线． [跟进训练] 2．已知方程＝1 ... ...