【学霸笔记：同步精讲】课时分层作业23 抛物线的标准方程 练习--2026版高中数学人教B版选必修1

课时分层作业(二十三) 1．D　[连接MF(图略)．由垂直平分线性质知|MB|＝|MF|，即点M到定点F的距离与它到直线l的距离相等，因此，点M的轨迹是抛物线．故选D．] 2．B　[由y＝ax2，得x2＝y，＝－2，a＝－．] 3．D　[因为抛物线C：y2＝8x的焦点为F(2，0)，准线方程为x＝－2，点M在C上， 所以M到准线x＝－2的距离为|MF|． 又M到直线x＝－3的距离为5， 所以|MF|＋1＝5，故|MF|＝4．故选D．] 4．C　[依题意知曲线PQ是以A为焦点、l为准线的抛物线，根据抛物线的定义知：欲求从M到A，B修建公路的费用最低，只需求出B到直线l距离即可．∵B地在A地东偏北30°方向2 km处， ∴B到点A的水平距离为3(km)， ∴B到直线l距离为3＋2＝5(km)， 那么修建这两条公路的总费用最低为5a(万元)，故选C．] 5．CD　[双曲线x2－＝1的焦点坐标为(±2，0)，离心率e＝＝2，A正确； y2＝mx(m>0)的焦点坐标为，0，故＝2，解得m＝8，B正确； 双曲线渐近线方程为y＝±x，C错误； 点P(2，y0)在抛物线上，故点P到抛物线焦点的距离为2＋2＝4，故D错误，故选CD．] 6.6　[ 如图所示，连接AN．因为A，F，M三点共线，所以AM为圆F的直径，所以AN⊥MN，点F到抛物线C的准线的距离为3，则易知|AN|＝6．由抛物线定义知|AF|＝|AN|＝6．] 7.6　[易知圆(x＋2)2＋y2＝3和曲线y2＝2px关于x轴对称，不妨设切线方程为y＝kx，k>0，所以，解得k＝ 所以|OP|＝＝8，解得p＝6． 当k＝－时，同理可得p＝6．] 8．y2＝x　 [ 如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立平面直角坐标系，使探照灯的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合，x轴垂直于灯口直径． 设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)， 由已知条件可得点A的坐标是(40，30)，且在抛物线上，代入方程， 得302＝2p·40，解得p＝， 故所求抛物线的标准方程为y2＝x，焦点坐标是．] 9．解： (法一)如图所示，设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点F，准线l：y＝，作MN⊥l，垂足为N， 则|MN|＝|MF|＝5， 而|MN|＝3＋＝5， 即p＝4，所以抛物线方程为x2＝－8y，准线方程为y＝2． 由m2＝－8×(－3)＝24，得m＝±2． (法二)设所求抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点为F． ∵M(m，－3)在抛物线上，且|MF|＝5， 故 解得 ∴抛物线方程为x2＝－8y，m＝±2，准线方程为y＝2． 10． ABD　[如图，由抛物线的定义可知|PE|＝|PF|，故A正确；因为PQ是∠EPF的外角平分线，所以∠FPQ＝∠NPQ，又EN∥KQ，所以∠NPQ＝∠PQF，所以∠FPQ＝∠PQF，所以|PF|＝|QF|，故B正确；若|PN|＝|MF|，则有△FMQ≌△PNQ，从而有|FQ|＝|PQ|，所以∠PFQ＝，此时P为定点，与P为抛物线C上异于O的任意一点矛盾，故C不正确；因为四边形KQNE是矩形，所以|EN|＝|KQ|，又|PE|＝|PF|＝|QF|，所以|PN|＝|KF|，故D正确．故选ABD．] 11．B　[由于P为抛物线y2＝－6x上一个动点，y2＝－6x的焦点坐标为，准线为x＝，Q为圆x2＋(y－6)2＝上一个动点，x2＋(y－6)2＝的圆心为(0，6)，半径r＝，那么点P到点Q的距离与点P到y轴距离之和最小值可结合抛物线的定义，P到y轴距离为P到焦点距离减去，则最小值为抛物线的焦点到圆心的距离减去半径和，故最小值为，故选B．] 12.4　[已知双曲线的左焦点F1(－c，0)，双曲线的渐近线方程为y＝±x， 抛物线x2＝8y的焦点(0，2)．因为直线l过F1(－c，0)与抛物线的焦点(0，2)且与双曲线的一条渐近线平行，所以．又c2＝a2＋2，解得a＝，c＝2， 所以|F1F2|＝2c＝4．] 13．y2＝4x　　　[由已知可得∠AFB为直角，故·p·p＝2，解得p＝2， 所以C的方程为y2＝4x；由对称性，不妨设P(x0，2)，因为抛物线C：y2＝4x的焦点F(1，0)，A(－1，0)，|PF|＝x0＋1，|PA|＝ ＝， 所以 ＝， 当且仅当x0＝1时取等号， 所以．] 14．解：(1)设曲线方程为y＝ax2＋， 由题意可知，0＝64a＋， 所以a＝－ ... ...