【学霸笔记：同步精讲】课时分层作业27 空间中的角 练习--2026版高中数学北师大版选必修1

课时分层作业(二十七) 1．C　[建立如图所示空间直角坐标系，设正四棱锥的棱长为2，则A(1，－1，0)，D(－1，－1，0)，S(0，0，)，E，∴＝(－1，－1，－)， ∴cos<， ∴AE，SD夹角的余弦值为．] 2．B　[建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0，0，1)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，所以G， 又因为平面ABCD的一个法向量为n＝(0，0，1)， 则cos<，n>＝， 所以，所以．] 3．D　[以B为原点，直线BC，BA，BB1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)，则D(2，2，0)，B1(0，0，1)，C1(2，0，1)． 设平面BB1D1D的一个法向量n＝(x，y，z)， 则取n＝(1，－1，0)，直线BC1的方向向量＝(2，0，1)，设直线BC1与平面BB1D1D的夹角为θ，则sin θ＝．] 4．C　[建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，则M(0，2，1)，O(1，1，0)，设P(x，0，2)，其中0≤x≤2，则＝(0，2，1)，＝(x－1，－1，2)． 由·＝0×(x－1)＋2×(－1)＋1×2＝0，得AM⊥OP，∴直线OP与AM的夹角是．] 5．B　[过A作AE⊥BD，过C作CF⊥BD，则AE＝，BE＝，所以EF＝1，因为， 所以||2＝||2＋||2＋||2＋2||·cos<>，∴cos<， ∴平面ABD与平面BCD的夹角是60°，故选B．] 6．45°或135°　[因为cos＝，所以两平面所成的二面角的大小为45°或135．] 7．30°　[如图，以O为原点建立空间直角坐标系， 设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，则A(a，0，0)，B(0，a，0)，C(－a，0，0)，P， 则＝(2a，0，0)， ， ＝(a，a，0)． 设平面PAC的一个法向量为n，可求得n=(0，1，1)， 设BC与平面PAC的夹角为θ， 则sin θ＝|cos<，n>|＝，∴θ＝30°．] 8．　[建立如图所示坐标系，设AB＝1，则D，A(0，0，0)，F(1，0，0)，B(0，1，0)， 所以＝(1，－1，0)． 所以异面直线AD与BF夹角的余弦值是 ．] 9．解：(1)证明：以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0，0，0)，A1(0，0，2)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，C1(2，2，2)，D1(0，2，2)， 因为E为棱BC的中点，F为棱CD的中点， 所以E(2，1，0)，F(1，2，0)， 所以＝(1，0，－2)，＝(2，2，0)，＝(2，1，－2)， 设平面A1EC1的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)， 则 令x1＝2，则m＝(2，－2，1)， 因为·m＝2－2＝0， 所以⊥m， 因为D1F 平面A1EC1，所以D1F∥平面A1EC1． (2)由(1)得，＝(2，2，2)， 设直线AC1与平面A1EC1的夹角为θ， 则sin θ＝＝＝＝． (3)由正方体的特征可得， 平面AA1C1的一个法向量为＝(2，－2，0)， 则cos<，m>＝， 所以二面角A A1C1 E的正弦值为 ． 10．解：(1)证明：取PD的中点G，连接FG，CG(图略)， 因为F为PE的中点，所以FG＝DE＝1，FG∥DE，又BC＝1，AD∥BC，所以FG＝BC，FG∥BC，所以四边形FGCB为平行四边形，所以BF∥CG， 又BF 平面PCD，CG 平面PCD，所以BF∥平面PCD． (2)因为AB⊥平面PAD，PE 平面PAD，所以AB⊥PE，又PE⊥AD，AB∩AD＝A，AB，AD 平面ABCD，所以PE⊥平面ABCD． 连接EC，易知四边形ABCE为矩形，故直线EC，ED，EP两两垂直，故以E为坐标原点，EC，ED，EP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则P(0，0，2)，C(1，0，0)，D(0，2，0)，A(0，－1，0)，B(1，－1，0)，则＝(1，0，0)，＝(0，1，2)，＝(1，0，－2)，＝(0，2，－2)． 设平面PAB的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)， 则可取n1＝(0，－2，1)． 设平面PCD的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)， 则可取n2＝(2，1，1)． 设平面PAB与平面PCD的夹角为θ， 则cos θ＝|cos|＝． 所以平面PAB与平面PCD夹角的余弦值为． 11．B　[建立如图所示的空间直角坐标系，设BB1＝1，则A(0，0，1)，B1， C1(0，，0)，B． ∴， ． ∴·－1＝0， ∴．即AB1与C1B夹 ... ...