【学霸笔记：同步精讲】第五章 §1 1.3 基本计数原理的简单应用 讲义--2026版高中数学北师大版选必修1

1.3　基本计数原理的简单应用 学习任务 核心素养 1．进一步掌握分类加法计数原理与分步乘法计数原理．(重点) 2．会应用两个计数原理解决实际问题．(难点) 通过对计数原理的实际应用，培养数学建模素养． 1．若集合A＝{a，b，c}，集合A所有子集的个数用分类加法计数原理如何来求？ 2．对于问题1中，用分步乘法计数原理如何来求？ 3．问题1、2的相同点是什么？不同点是什么？ 两个计数原理的联系与区别 原理 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 相同点 完成一件事 不同点 与分类有关 与分步有关 每类方法都能完成这件事，它们是相互独立的，且每一次得到的都是最后结果，只需一种方法就可以完成这件事 每一步得到的只是中间结果，任何一步都不可能独立地完成这件事，缺少任何一步都不可能完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事 各类方法之间是互斥的、并列的、独立的 各步之间是有关联的，不独立的 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有81种报名方法． (　　) (2)4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，冠军不并列，共有64种可能的结果． (　　) (3)由1，2，3组成的无重复数字的三位数有6个． (　　) (4)由1，2，3组成的含有重复数字的三位数有27个． (　　) 2．有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有(　　) A．21种 　 B．315种 C．143种 　 D．153种 3．如图，从A→C有_____种不同走法． 类型1　与数字有关的计数问题 【例1】　从0到9这十个数字中选出4个组成一个四位数，问：组成的数字中不重复的四位偶数共有多少个？ [思路点拨]　本题要根据0在末位和0不在末位的情况来解． [尝试解答]　_____ _____ _____ _____ [母题探究] 将本例问题改为：数字不重复的四位奇数有多少个？ _____ _____ _____ 　1．对于数字问题的计数：一般按特殊位置(末位或首位)由谁占分类，每类中再按特殊位置(或元素)优先的方法分步来计数；当分类较多时，可用间接法． 2．注意合理的画出示意图，直观地展现出问题的实质． 类型2　与几何有关的计数问题 【例2】　如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”．在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是(　　) A．60 　 B．48 C．36 　 D．24 　用两个计数原理在解决实际问题时常采用的方法 [跟进训练] 1．如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有_____个(用数字作答)． 类型3　涂色(种植)问题 【例3】　用5种不同的颜色给图中所给出的4个区域涂色，每个区域涂一种颜色．若要求相邻(有公共边)的区域不同色，那么共有多少种不同的涂色方法？ [思路点拨]　按1，2，3，4顺序涂色时，2，3区域颜色的异同对4有影响，所以应注意分类讨论． [尝试解答]　_____ _____ _____ _____ 　解决涂色(种植)问题的一般思路 (1)为便于分析问题，应先给区域(种植的品种)标上相应序号． (2)按涂色(种植)的顺序分步或按颜色(种植的品种)恰当选取情况分类． (3)利用两个原理计数． [跟进训练] 2．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，共有多少种不同的种植方法？ _____ _____ _____ 1．一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看，现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有(　　) A．24种　　 B．36种 C．48种　　 D．72种 2．如图所示，在A、B间有四个焊接点，若焊接点 ... ...