【学霸笔记：同步精讲】第五章 §4 4.1 二项式定理的推导 讲义--2026版高中数学北师大版选必修1

§4　二项式定理 4.1　二项式定理的推导 学习任务 核心素养 1．能用计数原理证明二项式定理．(难点) 2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．(重点、难点) 1． 借助二项式定理的证明，培养逻辑推理素养． 2．通过二项式定理的应用，提升数学运算素养． 1．我们知道(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a×a＋a×b＋b×a＋b×b＝a2＋2ab＋b2．如何用组合知识来解释a2，ab，b2的系数 2．仿照上述过程，你认为(a＋b)3，(a＋b)4的展开式是什么 1．二项式定理 公式(a＋b)n＝an-1b＋…＋an-kbk＋…＋bn(n∈N+)叫作二项式定理． 2．相关概念 (1)公式右边的多项式叫作(a＋b)n的二项展开式； (2)各项的系数(k∈{0，1，2，…，n})叫作二项式系数； (3)展开式中的叫作二项式通项，记作_____，它表示展开式的第_____项； (4)在二项式定理中，如果设a＝1，b＝x，则得到公式(1＋x)n＝． (1＋2x)n的二项展开式是什么 其第5项的二项式系数和第5项的系数各是什么 _____ _____ _____ 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1an-kbk是二项展开式的第k项． (　　) (2)(a＋b)n的展开式中任一项的二项式系数与a，b均无关． (　　) (3)(a＋b)n的展开式中共n项． (　　) (4)(2a－3b)n某项的系数是该项的数字因数，与该项的二项式系数不同． (　　) 2．二项式(a＋b)2n的展开式的项数是(　　) A．2n　　　　　　　　 B．2n＋1 C．2n－1　　 D．2(n＋1) 3．代数式(x＋1)4－4(x＋1)3＋6(x＋1)2－4(x＋1)＋1可化简为_____． 4．在的展开式中，常数项是_____． 类型1　二项式定理的正用与逆用 【例1】　(1)求的展开式； (2)求值＋…＋3n-1． [思路点拨]　(1)直接利用二项式定理展开，也可以先化简再展开；(2)先化成二项展开式的形式，然后逆用二项式定理求解． [尝试解答]　_____ _____ _____ _____ 　1．(a＋b)n的二项展开式有n＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是: (1)各项的次数都等于n； (2)字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n． 2．逆用二项式定理，可以化简多项式，体现的是整体思想．注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的特点靠拢． [跟进训练] 1．求的展开式． _____ _____ _____ 2．化简(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)． _____ _____ _____ 类型2　利用通项公式求二项展开式中的特定项 　求二项展开式中的特定项 【例2】　已知在的展开式中，第6项为常数项． (1)求n； (2)求含x2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项． [思路点拨]　利用展开式中的通项公式求出当x的次数为0时n的值，再求解(2)(3)问． [尝试解答]　_____ _____ _____ _____ 　求二项展开式中的特定项问题，一般需要建立方程求k，再将k的值代回通项求解，注意k的取值范围(k＝0，1，2，…，n)． (1)第m项:此时k＋1＝m，直接代入通项； (2)常数项:即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0建立方程； (3)有理项:令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程． [跟进训练] 3．求二项式的展开式中的常数项． _____ _____ _____ 　求二项展开式中特定项的系数 【例3】　(1)(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为(　　) A．12　 　　B．16　 　　C．20　 　　D．24 (2)已知(1＋ax)3＋(1－x)5的展开式中含x3的系数为－2，则a等于(　　) A．2　　　　B．2　　　　C．－2　　　　D．－1 (3(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为_____(用数字作答)． [尝试解答]　_____ _____ _____ _____ 　1．求几个多项式积的特定项:可先分别化简或展开为多项式和的形式，再分类考虑特定项产生的每一种情形，求出相应的特定项，最后进行合并即可． 2．求几个多项式和的特定项:先分别求出每一个多项式中 ... ...