【学霸笔记：同步精讲】第一章 §1 1.6 平面直角坐标系中的距离公式 讲义--2026版高中数学北师大版选必修1

1.6　平面直角坐标系中的距离公式 学习任务 核心素养 1．掌握两点间距离公式并会应用．(重点) 2．掌握点到直线的距离公式，并能灵活应用于求平行线间的距离等问题．(难点) 3．初步掌握用解析法研究几何问题．(重点、难点) 通过对两点间距离、点到直线距离以及两条平行线间距离公式的学习，提升逻辑推理、数学运算、直观想象的数学素养． 1．如何用向量的方法求平面上两点间的距离？ 2．如何用向量的方法求平面上点P到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d？ 1．两点间的距离公式 (1)平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝_____． (2)两点间距离的特殊情况 ①原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝． ②当P1P2∥x轴时，|P1P2|＝_____． ③当P1P2∥y轴时，|P1P2|＝_____． 1．如何推导平面上的两点间的距离公式？ _____ _____ _____ 2．点到直线的距离公式 (1)概念：过一点向直线作垂线，则该点与____之间的距离，就是该点到直线的距离． (2)公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝． 2．在使用点到直线的距离公式时，对直线方程有什么要求？ _____ _____ _____ 3．两条平行直线间的距离公式 (1)概念：夹在两条平行直线间的_____的长度就是两条平行直线间的距离． (2)公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝(其中A，B不全为0，且C1≠C2)． 3．在应用两条平行线间的距离公式时，对直线方程有什么要求？ _____ _____ _____ 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)点P(x0，y0)到直线y＝b的距离d＝y0－b． (　　) (2)点P(x0，y0)到x＝a的距离d＝|x0－a|． (　　) (3)直线x＋y＝m与直线2x＋2y＝n的距离为． (　　) (4)． (　　) 2．已知A(3，6)，B(2，4)，则A，B两点间的距离为(　　) A．5　　 B． C．3 　 D． 3．直线l1：3x＋4y－7＝0和直线l2：3x＋4y－2＝0的距离为_____． 4．若第二象限内的点P(m，1)到直线x＋y＋1＝0的距离为2，则实数m的值为_____． 类型1　两点间的距离公式 【例1】　【链接教材P22例22】 已知△ABC三顶点的坐标分别为A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)，试判断△ABC的形状． [尝试解答]　_____ _____ _____ _____ 　1．判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向． 2．在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形的长度特征，主要考察边是否相等或是否满足勾股定理的逆定理． [跟进训练] 1．已知A(－1，2)，B(2，)，在x轴上求一点C，使得△ABC是以AB为底边的等腰三角形，并求|CA|的值． _____ _____ _____ 类型2　点到直线(或平行直线间)的距离公式 【例2】　若O(0，0)，A(4，－1)两点到直线ax＋a2y＋6＝0的距离相等，则实数a＝_____． [思路点拨]　由点到直线的距离公式列出等式求a． [尝试解答]　_____ _____ _____ _____ 　1．用点到直线的距离公式时，直线方程要化为一般式． 2．求解两平行直线的距离问题也可以在其中一条直线上任取一点，再求这一点到另一直线的距离． [跟进训练] 2．若直线m被直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2，则直线m的倾斜角可以是_____．(写出所有正确答案的序号) ①15°　②30°　③45°　④60°　⑤75° 类型3　距离公式的综合应用 【例3】　已知直线l过点A(2，4)，两平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y－1＝0被直线l所截的线段中点M在直线x＋y－3＝0上，求直线l的方程． [思路点拨]　法一：在x＋y－3＝0上设M的坐标，利用M到两平行线距离相等求出M，再由两点式求出直线l的方程． 法二：先求出到两平行线距离相等的直线方程，再由方程组求出M的坐标，进而求出直线l的方程． [尝试解答]　__ ... ...