【学霸笔记：同步精讲】第六章 §3 3.1 离散型随机变量的均值 讲义--2026版高中数学北师大版选必修1

§3　离散型随机变量的均值与方差 3.1　离散型随机变量的均值 学习任务 核心素养 1．通过实例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值． 2．理解离散型随机变量均值的性质．(重点) 3．会利用离散型随机变量的均值，反映离散型随机变量取值的平均水平，解决一些相关的实际问题．(难点) 1．通过对离散型随机变量均值概念的学习，培养数学抽象素养． 2．求离散型随机变量的均值，培养数学运算素养． 著名经济学家纳什因提出“纳什均衡”而获得诺贝尔经济学奖．在纳什均衡论中有一个有趣的数学问题叫“囚徒困境”． 有两名同案犯，被警方抓获并隔离审讯．如果两人拒不交待，将因证据不足而被无罪释放；如果一方招供一方不招，招供的一方将因有立功表现而只被判3年，不招供的一方则将被判10年；如果双方都招供将各被判5年．请问他们将作何种选择？ 离散型随机变量的均值或数学期望 (1)定义：一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称_____为随机变量X的均值或数学期望(简称期望)． (2)意义：离散型随机变量X的均值或数学期望反映了离散型随机变量X取值的_____． (3)性质：如果X为离散型随机变量，则Y＝aX＋b(其中a，b为常数)也是随机变量，且EY＝E(aX＋b)＝_____． (1)随机变量的均值和样本的平均值是一个常数还是随机变量？ (2)随着样本容量的增加，样本的平均值与总体平均值有什么关系？ _____ _____ _____ 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)随机变量X的数学期望EX是个变量，其随X的变化而变化． (　　) (2)随机变量的均值与样本的平均值相同． (　　) (3)若随机变量X的数学期望EX＝1，则E(2X)＝2． (　　) (4)若随机变量X的数学期望EX＝1，则E(X＋1)＝2． (　　) 2．随机变量X的分布列如下，则X的均值是(　　) X 1 2 3 P 0.2 0.5 m A．2　 B．2.1 C．2.3 　 D．随m的变化而变化 3．设X的分布列如下，且Y＝2X＋5，则EY＝_____． X 1 2 3 4 P 4．现有A，B，C 3个项目，已知某投资公司投资A项目的概率为，投资B，C项目的概率均为p，且投资这3个项目是相互独立的，记X是该投资公司投资项目的个数，且P(X＝0)＝，则随机变量X的数学期望EX＝_____． 类型1　求离散型随机变量的均值 【例1】　袋中有4个黑球、3个白球、2个红球，从中任取2个球，每取到一个黑球记0分，每取到一个白球记1分，每取到一个红球记2分，用ξ表示得分数． (1)求ξ的分布列； (2)求ξ的均值． [思路点拨]　首先根据取到的两个球的不同情况，确定ξ的取值为0，1，2，3，4，再分别计算概率，即可得到分布列，然后利用均值的公式求解． [尝试解答]　_____ _____ _____ _____ 　求离散型随机变量的均值的步骤 (1)确定取值：根据随机变量X的意义，写出X可能取得的全部值． (2)求概率：求X取每个值的概率． (3)写分布列：写出X的分布列． (4)求均值：由均值的定义求出EX． 其中写出随机变量的分布列是求解此类问题的关键所在． [跟进训练] 1．袋中有5个大小相同的小球，其中1个白球和4个黑球，每次从中任取1个球，每次取出黑球不再放回去，直到取出白球为止，求取球次数X的均值． _____ _____ _____ 类型2　离散型随机变量均值的性质 【例2】　已知随机变量X的分布列为： X －2 －1 0 1 2 P m (1)求EX； (2)若Y＝2X－3，求EY． [尝试解答]　_____ _____ _____ _____ [母题探究] 本例条件不变，若ξ＝aX＋3，且Eξ＝－，求a的值． _____ _____ _____ 　求离散型随机变量均值的解题思路 (1)若给出的随机变量Y与X的关系为Y＝aX＋b，a，b为常数．一般思路是先求出EX，再利用公式E(aX＋b)＝aEX＋b求EY． (2)利用X的分布列得到Y的分布列，关键由X的取值计算Y的取值，对应的概率相等，再由定义 ... ...