【学霸笔记：同步精讲】第六章 §4 4.1 二项分布 讲义--2026版高中数学北师大版选必修1

§4　二项分布与超几何分布 4.1　二项分布 学习任务 核心素养 1．掌握独立重复试验的概念及意义，理解在n次独立重复试验中事件发生k次的概率公式．(重点) 2．理解n次独立重复试验的模型，并能用于解一些简单的实际问题．(重点、难点) 3．理解二项分布模型，会判断一个具体问题是否服从二项分布． 1．通过对独立重复试验与二项分布的概念的学习，培养数学抽象素养． 2．借助在n次独立重复试验中事件发生k次的概率公式与二项分布模型的应用，提升数学运算与数学建模素养． 以下四个试验，它们的共同点是什么？ (1)抛一枚质地均匀的硬币5次． (2)某位同学玩射击游戏，总共射击10次，每次射中的概率为0.7． (3)小明同学罚球的命中率为0.7，总共罚球4次． (4)口袋有5个白球，4个黑球，有放回地抽4次． 1．n重伯努利试验 一般地，在相同条件下重复做n次伯努利试验，且每次试验的结果都不受其他试验结果的影响，称这样的n次独立重复试验为n重伯努利试验． 2．二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，用X表示这n次试验中成功的次数，且每次成功的概率均为p，则P(X＝k)＝pk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n)．此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率． 3．二项分布的期望与方差 一般地，若随机变量X～B(n，p)，则EX＝np，DX＝np(1－p)；特殊地，若随机变量X服从参数为p的两点分布，则EX＝p，DX＝p(1－p)． 独立重复试验必须具备哪些条件？ [提示]　独立重复试验必须具备以下条件： ①每次试验的条件完全相同，有关事件的概率不变． ②各次试验结果互不影响，即每次试验相互独立． ③每次试验只有两种结果，这两种可能的结果是对立的． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)掷一枚质地均匀的硬币3次，可看作3重伯努利试验． (　　) (2)二项分布是表示n次独立重复试验中事件A发生的次数的概率分布． (　　) (3)二项分布是一个用公式P(X＝k)＝pk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n表示的概率分布列． (　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)√ 2．下列随机变量X不服从二项分布的是(　　) A．投掷一枚均匀的骰子5次，X表示点数为6出现的次数 B．某射手射中目标的概率为p，设每次射击是相互独立的，X为从开始射击到击中目标所需要的射击次数 C．实力相等的甲、乙两选手进行了5局乒乓球比赛，X表示甲获胜的次数 D．某星期内，每次下载某网站数据被病毒感染的概率为0.3，X表示下载n次数据电脑被病毒感染的次数 B　[选项A，试验出现的结果只有两种：点数为6和点数不为6，且点数为6的概率在每一次试验中都为，每一次试验都是独立的，故随机变量X服从二项分布；选项B，虽然随机变量在每一次试验中的结果只有两种，每一次试验事件相互独立且概率不发生变化，但随机变量的取值不确定，故随机变量X不服从二项分布；选项C，甲、乙的获胜率相等，进行5次比赛，相当于进行了5次独立重复试验，故X服从二项分布；选项D，由二项分布的定义，可知被感染次数X～B(n，0.3)．] 3．一只蚂蚁位于数轴x＝0处，这只蚂蚁每隔一秒钟向左或向右移动一个单位长度，设它向右移动的概率为，向左移动的概率为，则3秒后，这只蚂蚁在x＝1处的概率为_____． 　[由题意知，3秒内蚂蚁向左移动一个单位长度，向右移动两个单位长度，所以蚂蚁在x＝1处的概率为＝．] 类型1　求伯努利试验的概率 【例1】　若图书室中只存放技术书和数学书，每名读者借技术书的概率为0.2，借数学书的概率为0.8．有5名读者依次借书，设每人只借一本书，求至多有2人借数学书的概率． [思路点拨]　读者借一本书只有两种结果，每名读者借一本书可以看做是五次相互独立的重复试验，因此可用相互独立的重复试验的概率公式求解． [解]　记“读者借数学书”为事件A，“读者借技术书”为 ... ...