【学霸笔记：同步精讲】第六章 §4 4.2 超几何分布 讲义--2026版高中数学北师大版选必修1

4.2　超几何分布 学习任务 核心素养 1．理解超几何分布及其推导过程．(重点) 2．能用超几何分布解决一些简单的实际问题．(重点、难点) 1．通过对超几何分布的学习，培养数学建模素养． 2．通过对超几何分布的应用，培养数学运算素养． 已知在8件产品中有3件次品，现从这8件产品中任取2件，用X表示取得的次品数． 1．X可能取哪些值？ 2．“X＝1”表示的试验结果是什么？P(X＝1)等于什么？ 3．如何求P(X＝k)(k＝0，1，2)？ 1．超几何分布的概念 一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品．从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么 P(X＝k)＝，max{0，n－(N－M)}≤k≤min{n，M}．其中n≤N，M≤N，n，M，N∈N＋． 若一个随机变量X的分布列由上式确定，则称随机变量X服从参数为N，M，n的_____． 2．超几何分布的期望(均值) 若随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布，即X～H(N，M，n)，则均值EX＝． 设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品．从中逐个抽取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数． (1)如果每次抽取后不放回，那么随机变量X服从什么分布？ (2)如果每次抽取后放回，那么随机变量X服从什么分布？ _____ _____ _____ 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)在超几何分布中，取出的n件产品中次品的件数的最小值一定是0． (　　) (2)在超几何分布中，取出的n件产品中次品的件数的最大值一定是n． (　　) (3)若X服从参数为N，M，n的超几何分布，则p(X＝k)＝． (　　) (4)已知在8件产品中有3件次品，5件正品，现从中任取2件，用X表示取得的正品数，则X不服从超几何分布． (　　) 2．一批产品共10件，次品率为20%，从中任取2件，则正好取到1件次品的概率是(　　) A．　　　　 B．　　 C．　　　　 D． 3．设8件产品中，有2件次品，现从中抽取4件，用X表示抽得次品的件数，则X服从参数为_____(即定义中的N，M，n)的超几何分布． 类型1　求超几何分布的分布列 【例1】　某班从6名干部中(其中男生4人，女生2人)选3人参加学校的义务劳动．设所选3人中女生人数为X，求X的分布列． [思路点拨]　写出X的可能取值→求出每个X对应的概率→写出分布列． [尝试解答]　_____ _____ _____ _____ [母题探究] 本例中若所选3人中男生人数为X，其他条件不变，求X的分布列． _____ _____ _____ 　1．解答本题易出现P(X＝k)算错或列表时X＝k与P(X＝k)的位置不对应的错误． 2．求超几何分布的分布列，关键是求得P(X＝k)的值，而求其值，就要先分清N，M和n的值． 类型2　利用超几何分布模型求相应事件的概率 【例2】　在100件产品中，有95件合格品，5件次品，从中任取2件． 求：(1)2件都是合格品的概率； (2)2件都是次品的概率； (3)1件是合格品， 1件是次品的概率． [思路点拨]　解答本题可根据超几何分布公式求解． [尝试解答]　_____ _____ _____ _____ 　1．解答本题第(3)问时，也可利用前两问的结果，借助其对立事件来求，即P(A3)＝1－P(A2)－P(A1)＝． 2．应用超几何分布的概率公式时，要正确确定M、N、n、k，同时要避免不必要的重复计算． [跟进训练] 1．某种彩票的开奖是从1，2，…，36中任意选出7个基本号码，凡购买的彩票上的7个号码中有4个或4个以上基本号码就中奖，基本号码个数的多少，中奖的等级如表， 含有基本号码个数 4 5 6 7 中奖等级 四等奖 三等奖 二等奖 一等奖 求至少中三等奖的概率． _____ _____ _____ 类型3　超几何分布的综合应用 【例3】　在某次展会期间，小红计划对事先选定的10个场馆进行参观，在她选定的10个场馆中，有4个场馆分布在A片区，3个场馆分布在B片区，3个场馆分布在C片区．由于参观的人很多，在进入每个场馆前都需排队等候，已知A片区的每个场馆的排队时间为2小 ... ...