【学霸笔记：同步精讲】第三章 §4 4.1 直线的方向向量与平面的法向量 课件--2026版高中数学北师大版选必修1

(课件网) 复习任务群一 现代文阅读Ⅰ 把握共性之“新”　打通应考之“脉” 第三章　空间向量与立体几何 §4　向量在立体几何中的应用 4.1　直线的方向向量与平面的法向量 学习任务 核心素养 1．理解直线的方向向量和平面的法向量及其意义．(重点) 2．会求直线的方向向量和平面的法向量．(重点、难点) 1．通过对直线的方向向量和平面的法向量的学习，提升数学抽象素养． 2．通过求直线的方向向量和平面的法向量，培养直观想象与数学运算素养． 1．给定空间中任意一点A和非零向量a，可以确定唯一一条过点A且平行于向量a的直线吗？可以确定唯一一条过点A且垂直于向量a的直线吗？ 2．给定空间中任意一点A和非零向量a，可以确定唯一一个过点A且垂直于向量a的平面吗？可以确定唯一一个过点A且平行于向量a的平面吗？ 必备知识·情境导学探新知 1．直线的方向向量 设l是空间一直线，A，B是直线l上不重合的任意两点，则称为直线l的_____． 如图所示，已知点M是直线l上的一点，非零向量a是直线l的一个方向向量，那么对于直线l上的任意一点P，一定存在实数t，使得＝ta．把这个式子称为直线l的向量表示． 方向向量 2．平面的法向量 (1)如果一条直线l与一个平面α垂直，那么把直线l的方向向量n叫作平面α的_____． 如图所示，设点M是平面α内给定的一点，向量n是平面α的一个法向量，那么对于平面α内任意一点P，必有n＝0．把此式称为平面α的一个向量表示式． 法向量 思考　直线的方向向量和平面的法向量是唯一的吗？若不唯一，直线的方向向量之间的关系是怎样的？平面的法向量之间的关系是怎样的？ [提示]　直线的方向向量和平面的法向量不是唯一的，直线的不同方向向量是共线向量，平面的不同法向量是共线向量． (2)在空间直角坐标系中，若n＝(A，B，C)，点M的坐标为(x0，y0，z0)，则对于平面α内任意一点P(x，y，z)，有＝(x－x0，y－y0，z－z0)，则方程_____，称为平面α的方程． A(x－x0)＋B( y－y0)＋C(z－z0)＝0 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)一条直线有无穷多个方向向量，这些向量都是共线向量． (　　) (2)一个平面的法向量是唯一的，即一个平面不可能存在两个不同的法向量． (　　) (3)直线的单位方向向量有两个，它们是相反向量． (　　) √ × √ 2．若点A(1，0，－1)，B(2，1，2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是(　　) A．(2，2，6)　　 B．(－1，1，3) C．(3，1，1) 　 D．(－3，0，1) √ 3．若A，B，C是平面α内的三点，设平面α的法向量a＝(x，y，z)，则x∶y∶z＝_____． 2∶3∶(－4)　[＝＝，由法向量的定义得，a＝0，a＝0，所以x∶y∶z＝y∶y∶＝2∶3∶(－4)．] 2∶3∶(－4) 关键能力·合作探究释疑难 类型1　直线的方向向量及应用 【例1】　在空间直角坐标系O-xyz中，已知直线l过点A，其方向向量为n＝． (1)求直线l的向量表达式； (2)求直线l与坐标平面xOy的交点B的坐标． [解]　(1)直线l的向量表达式为＝＋tn． (2)由(1)知，＝，令2＋3t＝0，得t＝－，所以点B的坐标为． 反思领悟　1．求直线的方向向量时，要充分利用几何体中的平行关系，平行直线的方向向量共线． 2．在空间中，过点A，方向向量为n的直线可以表示为＝＋tn． √ [跟进训练] 1．如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，以顶点为向量端点的所有向量中，直线AB的方向向量有(　　) A．8个　　　　　 B．7个 C．6个 　 D．5个 A　[与向量平行的向量就是直线AB的方向向量，有，共8个，故选A．] 类型2　求平面的法向量 【例2】　【链接教材P122例4】 求△ABC所在平面的单位法向量，其中A(－1，－1，0)，B(1，1，1)，C(3，4，3)． [解]　∵＝(2，2，1)，＝(4，5，3)，设n＝(x，y，z ... ...