【学霸笔记：同步精讲】第三章 §4 4.2 用向量方法研究立体几何中的位置关系 课件--2026版高中数学北师大版选必修1

(课件网) 复习任务群一 现代文阅读Ⅰ 把握共性之“新”　打通应考之“脉” 第三章　空间向量与立体几何 §4　向量在立体几何中的应用 4.2　用向量方法研究立体几何中的位置关系 学习任务 核心素养 1．能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系．(重点) 2．能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理及其应用．(重点、难点) 通过证明空间中的平行与垂直问题，培养直观想象、数学运算与逻辑推理素养． 1．已知直线l的方向向量为m，平面α的法向量为n． (1)若l⊥α，则m与n有怎样的关系？ (2)若m∥n，则l与α有怎样的关系？ 2．问题1中的结论对你研究立体几何中的垂直问题有什么启发？ 必备知识·情境导学探新知 1．用向量研究平行与垂直 设向量l，m分别是直线l，m的方向向量，n1，n2分别是平面α，β的法向量． 位置关系 向量语言 l∥m或l与m重合 _____ _____ l⊥n1 α∥β或α与β重合 _____ l∥m　 l∥α或l α n1∥n2　 位置关系 向量语言 _____ l⊥m l⊥α _____ _____ n1⊥n2 l⊥m 　l∥n1　 α⊥β 思考　(1)已知直线l的方向向量为m，平面α的法向量为n，若m⊥n，则l与α有怎样的关系？反之，成立吗？ (2)已知直线l的方向向量为m，v1，v2是平面α的一组基，若存在x，y∈R，使得m＝xv1＋yv2，则l与α有怎样的关系？反之，成立吗？ [提示]　(1)l∥α或l α．成立． (2)l∥α或l α．成立． 2．立体几何中的几个定理 (1)直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条_____垂直，那么该直线与此平面____． (2)两个平面平行的判定定理：如果一个平面内的两条_____与另一个平面平行，那么这两个平面____． (3)三垂线定理及其逆定理 三垂线定理：若平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的投影____，则它也和这条斜线垂直． 三垂线定理的逆定理：若平面内的一条直线和这个平面的一条____垂直，则它也和这条斜线在这个平面内的投影____． 相交直线 垂直　 相交直线 平行　 垂直 斜线 垂直 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若直线a与平面α相交但不垂直，则直线a的方向向量和平面α的法向量不平行．　 (　　) (2)已知直线a的方向向量为a，b，c是平行于平面α的两个不共线向量，若存在x，y，使得a＝xb＋yc，则a∥α． (　　) (3)若平面α，β的法向量平行，则α∥β． (　　) (4)若平面α，β的法向量不平行，则平面α与β相交． (　　) √ × × √ 2．已知a＝(2，4，5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量．若l1∥l2，则(　　) A．x＝6，y＝15　 B．x＝3，y＝ C．x＝3，y＝15　 D．x＝6，y＝ √ D　[由l1∥l2得，＝＝，解得x＝6，y＝．] 3．已知平面α和平面β的法向量分别为a＝(1，1，2)，b＝(x，－2，3)，且α⊥β，则x＝_____． －4　[∵α⊥β，∴ab＝0， ∴x－2＋2×3＝0，∴x＝－4．] －4　 关键能力·合作探究释疑难 类型1　空间中位置关系的判定 【例1】　根据下列条件，判断相应的线、面位置关系： (1)不重合的直线l1与l2的方向向量分别是a＝(2，3，－1)，b＝(－6，－9，3)； (2)直线l1与l2的方向向量分别是a＝(－2，1，4)，b＝(6，3，3)； (3)平面α与β的法向量分别是u＝(1，－1，2)，v＝(3，2，－)； (4)平面α与β的法向量分别是u＝(2，－3，4)，v＝(4，－2，1)； (5)直线l的方向向量，平面α的法向量分别是a＝(0，－8，12)，u＝(0，2， －3)． [解]　(1)∵a＝(2，3，－1)，b＝(－6，－9，3)， ∴a＝－b，∴a∥b，即l1∥l2． (2)∵a＝(－2，1，4)，b＝(6，3，3)， ∴ab≠0且a≠kb(k∈R)，∴a，b既不共线也不垂直，∴l1与l2相交或异面． (3)∵u＝(1，－1，2)，v＝， ∴uv＝3－2－1＝0 ... ...