【学霸笔记：同步精讲】第一章 1.3 1.3.2 空间向量运算的坐标表示 讲义--2026版高中数学人教A版选必修1

1.3.2　空间向量运算的坐标表示 [学习目标]　 1．掌握空间向量运算的坐标表示．(数学运算) 2．掌握空间两点间的距离公式，并会用向量的坐标解决一些简单的几何问题．(数学运算、逻辑推理) 探究1　空间向量的坐标运算 问题1　你能类比平面向量运算的坐标表示得出空间向量运算的坐标表示吗？若能，请尝试证明． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [新知生成] 1．设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，λ∈R，那么 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b (a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa (λa1，λa2，λa3) 数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3 2．设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则＝_____．即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标_____起点坐标． [典例讲评]　1．在△ABC中，A(2，－5，3)，＝(4，1，2)，＝(3，－2，5)． (1)求顶点B，C的坐标； [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (2)求； (3)若点P在AC上，且＝，求点P的坐标． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　空间向量坐标运算的规律 (1)直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算． (2)由条件求向量或点的坐标：把向量或点的坐标形式设出来，通过解方程(组)，求出其坐标． [学以致用]　1．已知向量a＝(2，－3，1)，b＝(2，0，3)，c＝(0，0，2)，则a·(2b－c)＝(　　) A．12 B．－12 C．9 D．－9 2．已知O为坐标原点，A，B，C三点的坐标分别是(2，－1，2)，(4，5，－1)，(－2，2，3)，求点P的坐标，使： (1)＝)；(2)＝)． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 探究2　空间向量平行、垂直的坐标表示及应用 问题2　设平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b，a⊥b的充要条件分别是什么？对于空间向量是不是也有类似的结论？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [新知生成] 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 平行(a∥b) a∥b(b≠0) a＝λb _____ 垂直(a⊥b) a⊥b a·b＝0 _____(a，b均为非零向量) 　由平行、垂直关系求参数 [典例讲评]　2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是棱D1D的中点，点P，Q分别为线段B1D1，BD上的点，且3＝，若PQ⊥AE，＝λ，求λ的值． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ... ...