【学霸笔记：同步精讲】第二章 2.1 2.1.1 倾斜角与斜率 讲义--2026版高中数学人教A版选必修1

2.1　直线的倾斜角与斜率 2.1.1　倾斜角与斜率 [学习目标]　 1．在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素．(数学抽象、直观想象) 2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程．(数学抽象) 3．掌握过两点的直线斜率的计算公式．(数学运算) 探究1　直线的倾斜角 问题1　观察下图，在平面直角坐标系中，经过一点P可以作无数条直线l1，l2，l3，…，它们组成一个直线束，这些直线的区别是什么？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [新知生成] 1．倾斜角的定义 (1)当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴_____与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． (2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°． 2．倾斜角的范围：直线的倾斜角α的取值范围为_____． [学以致用]　1．(多选)下列命题中，正确的是(　　) A．任意一条直线都有唯一的倾斜角 B．一条直线的倾斜角可以为－30° C．若直线l向上的方向与y轴的正方向成30°角，则直线l的倾斜角为60°或120° D．若直线的倾斜角为α，则sin α∈(0，1) 2．(多选)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为(　　) A．α＋45° B．α－135° C．135°－α D．α－45° 探究2　直线的斜率 问题2　如果直线l经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，(x1≠x2)，那么直线l的倾斜角α与P1，P2的坐标有什么关系？当直线l与x轴平行或重合时，还成立吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [新知生成] 1．斜率的定义：一条直线的倾斜角α的_____叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝_____． 2．斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝．当x1＝x2时，直线P1P2的斜率不存在． 3．直线的方向向量与斜率的关系 (1)经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线，其方向向量为＝(x2－x1，y2－y1)＝(x2－x1)·，因此，当直线的斜率k存在时，直线的一个方向向量为(1，k)． (2)当直线的一个方向向量的坐标为(x，y)(x≠0)时，直线的斜率k＝． [典例讲评]　【链接教材P54例1】 1．(1)经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角． ①A(2，3)，B(4，5)； ②C(－2，3)，D(2，－1)； ③P(－3，1)，Q(－3，10)； ④M(2，4)，N(－3，4)． (2)求经过两点A(2m，1)，B(m，2)(m∈R)的直线l的斜率． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　1．直线斜率的基本求法 (1)利用两点坐标求直线的斜率，即k＝(x1≠x2)，用此法时要注意两点的横坐标不能相等，同时要注意横、纵坐标必须对应． (2)利用倾斜角求斜率，即k＝tan α，用此法时一定注意倾斜角为90°时，直线的斜率不存在． 2．利用斜率公式求直线的斜率时，如果点的坐标中含有参数，需要先对直线斜率是否存在作出判断，即对参数进行分类讨论． [学以致用]　3．已知经过点A(1，2)，B(m，4)的直线l的斜率为2，则m的值为(　　) A．－1 B．0 C．1 ... ...