【学霸笔记：同步精讲】第二章 2.2 2.2.2 直线的两点式方程 讲义--2026版高中数学人教A版选必修1

2.2.2　直线的两点式方程 [学习目标]　 1．掌握直线的两点式方程的形式、特点及适用范围．(数学抽象) 2．了解直线的截距式方程的形式、特点及适用范围．(数学抽象) 3．能用直线的两点式方程和截距式方程解决有关问题．(逻辑推理、数学运算) [教用·问题初探]———通过让学生回答问题来了解预习教材的情况 问题1．两点式方程与P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的顺序有关吗？ 问题2．两点式能否表示平行于坐标轴或与坐标轴重合的直线？ 问题3．截距式方程适用的条件是什么？ 探究1　直线的两点式方程 问题1　给定直线l上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2，任选直线上一点P(x，y)，其中P不与P1，P2重合，那么与有什么关系？ [提示]　＝，即＝． [新知生成] 1．经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)的直线方程为，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式． 2．当x1＝x2时，直线P1P2垂直于x轴，直线方程为x－x1＝0，即x＝x1；当y1＝y2时，直线P1P2垂直于y轴，直线方程为y－y1＝0，即y＝y1． 【教用·微提醒】　两点式方程也可写成＝，需注意等号左、右两边的字母下标必须对应，不能乱写，并注意x1≠x2，y1≠y2． [典例讲评]　【链接教材P63例4】 1．(源自湘教版教材)如图所示，三角形的三个顶点分别为A(－3，2)，B(5，－4)，C(0，－2)． (1)求BC边所在直线的方程； (2)求BC边上的中线所在直线的方程． [解]　(1)过B(5，－4)，C(0，－2)的直线的两点式方程为＝． 整理得2x＋5y＋10＝0． 这就是BC边所在直线的方程． (2)BC中点M的坐标为＝． 过A(－3，2)，M的直线的两点式方程为＝． 整理得10x＋11y＋8＝0． 这就是BC边上的中线AM所在直线的方程． 【教材原题·P63例4】 例4　已知△ABC的三个顶点A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，求边BC所在直线的方程，以及这条边上的中线AM所在直线的方程． [解]　如图2.2-6，过B(3，－3)，C(0，2)的直线的两点式方程为＝， 整理得5x＋3y－6＝0． 这就是边BC所在直线的方程． 边BC上的中线是顶点A与边BC中点M所连线段， 由中点坐标公式，可得点M的坐标为 ，即． 过A(－5，0)，M两点的直线方程为 ＝， 整理可得 x＋13y＋5＝0． 这就是边BC上中线AM所在直线的方程． 　1．利用两点式求直线的方程 (1)首先要判断是否满足两点式方程的适用条件；若满足即可考虑用两点式求方程． (2)在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程． 2．中点坐标公式：若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则P1P2中点的坐标为． [学以致用]　1．已知直线经过点A(1，0)，B(m，1)，求直线的方程． [解]　由直线经过点A(1，0)，B(m，1)知，该直线斜率不可能为零，但有可能不存在． (1)当m＝1时，直线斜率不存在，直线方程为x＝1． (2)当m≠1时，直线斜率存在，利用两点式，可得直线方程为＝， 即x－(m－1)y－1＝0． 综上可得，当m＝1时，直线方程为x＝1； 当m≠1时，直线方程为x－(m－1)y－1＝0． 探究2　直线的截距式方程 问题2　在点斜式方程的探究中，我们从一般到特殊，对条件的特殊情形作了研究，得到了直线的斜截式方程．类似地，对于直线的两点式方程，我们也可以用特殊的两点建立两点式方程，你觉得应该选用哪两个特殊点？你能否由这两点得出直线的方程呢？ [提示]　(a，0)，(0，b)(a≠0，b≠0)　＝1 [新知生成] 方程＝1叫做直线的截距式方程，简称截距式．直线与x轴的交点(a，0)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距，此时直线在y轴上的截距是 b． 【教用·微提醒】　(1)如果已知直线在两坐标轴上的截距，可以直接代入截距式方程求解，与坐标轴平行和过原点的直线都不能用截距式表示． (2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图． [典例讲评]　【 ... ...