【学霸笔记：同步精讲】第二章 2.3 2.3.3 点到直线的距离公式 2.3.4 两条平行直线间的距离 讲义--2026版高中数学人教A版选必修1

2.3.3　点到直线的距离公式 2.3.4　两条平行直线间的距离 [学习目标]　 1．探索并掌握点到直线的距离公式和两条平行直线间的距离公式．(数学抽象、数学运算) 2．会求点到直线的距离与两平行直线间的距离．(数学运算) [教用·问题初探]———通过让学生回答问题来了解预习教材的情况 问题1．点到直线的距离是指什么线段的长？ 问题2．应用点到直线的距离公式时，必须将直线化为一般式吗？ 问题3．两条平行直线间的距离是指什么线段的长？ 问题4．运用两条平行直线间的距离公式时应注意什么？ 探究1　点到直线的距离 问题1　如图，在平面直角坐标系中，已知点P(x0，y0)，直线l：Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)，怎样求出点P到直线l的距离呢？如果A＝0或B＝0时，又如何求点P到直线l的距离呢？观察点到直线的距离公式，你能说说它的结构特征吗？ [提示]　点P到直线l的距离是点P到直线l的垂线段的长，如图，过点P作直线l的垂线为l′，垂足为Q，由l′⊥l可知l′的斜率为，∴l′的方程为y－y0＝(x－x0)，与直线l的方程联立方程组， 解得交点Q， ∴|PQ|＝． 当A＝0时，直线l：By＋C＝0，|PQ|＝|y0－yQ|＝＝＝； 当B＝0时，直线l：Ax＋C＝0，|PQ|＝|x0－xQ|＝＝＝． 所以当A＝0或B＝0时，上述公式仍然成立． 公式特征：(1)点到直线的距离公式中，直线的方程要转化为一般式Ax＋By＋C＝0；(2)公式中，分子是将点P(x0，y0)的坐标代入一般式左边所得值的绝对值，分母是一般式一次项系数平方和的算术平方根． [新知生成] 点到直线的距离 (1)定义：点到直线的距离，就是点到直线的垂线段的长度． (2)公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝． [典例讲评]　1．(源自北师大版教材)求点P(－2，1)到下列直线的距离： (1)3x＋4y－1＝0；(2)y＝2x＋3；(3)2x＋5＝0． [解]　(1)根据点到直线的距离公式，得d＝＝． 即点P(－2，1)到直线3x＋4y－1＝0的距离为． (2)直线方程y＝2x＋3可化为一般式2x－y＋3＝0． 根据点到直线的距离公式，得d＝＝＝． 即点P(－2，1)到直线y＝2x＋3的距离为． (3)直线方程2x＋5＝0可化为x＝－，这条直线垂直于x轴， 所以d＝＝． 即点P(－2，1)到直线2x＋5＝0的距离为． [母题探究]　求过点P(－2，1)且与原点距离最大的直线l的方程，并求出最大距离． [解]　设原点为O，连接OP(图略)，易知过点P且与原点距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线． 由l⊥OP，得kl·kOP＝－1，所以kl＝－＝2， 所以直线l的方程为y－1＝2(x＋2)，即2x－y＋5＝0，即直线2x－y＋5＝0是过点P且与原点距离最大的直线，最大距离为＝． 【教材原题·P77例5、例6】 例5　求点P(－1，2)到直线l：3x＝2的距离． [分析]　将直线l的方程写成3x－2＝0，再用点到直线的距离公式求解． [解]　点P(－1，2)到直线l：3x－2＝0的距离 d＝＝． 例6　已知△ABC的三个顶点分别是A(1，3)，B(3，1)，C(－1，0)，求△ABC的面积． [分析]　由三角形面积公式可知，只要利用距离公式求出边AB的长和边AB上的高即可． [解]　如图2.3-7，设边AB上的高为h，则 S△ABC＝|AB|h． |AB|＝＝2． 边AB上的高h就是点C到直线AB的距离． 边AB所在直线l的方程为＝， 即x＋y－4＝0． 点C(－1，0)到直线l：x＋y－4＝0的距离 h＝＝． 因此，S△ABC＝×2＝5． 　点到直线的距离的求解方法 (1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式，直接利用点到直线的距离公式即可． (2)若已知点到直线的距离求参数值时，只需根据点到直线的距离公式列出关于参数的方程即可． [学以致用]　1．(1)若点P为x轴上一点，且点P到直线3x－4y＋6＝0的距离为6，则点P的坐标为(　　) A．(8，0) B．(－12，0) C．(8，0)或(－12，0) D．(－8，0)或(12，0) (2)已知直线l经过点(－2，3)，且原点到直线l的距离等 ... ...