【学霸笔记：同步精讲】第三章 3.3 3.3.1 抛物线及其标准方程 讲义--2026版高中数学人教A版选必修1

3.3　抛物线 3.3.1　抛物线及其标准方程 [学习目标]　 1．掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念．(数学抽象) 2．会求抛物线的标准方程，并能应用它解决有关问题．(数学运算、数学建模) 探究1　抛物线的定义 问题1　如图，把一个直尺固定在画板内直线l的位置上，截取一根绳子的长度等于AB的长度，现将绳子的一端固定在三角板的顶点A处，另一端用图钉固定在画板上的F处，用铅笔尖(记作点P)扣紧绳子，并靠住三角板，然后使三角板紧靠着直尺上下滑动，这样铅笔尖就描出了一条曲线．在作图的过程中，你能发现点P满足的条件吗？它的轨迹是什么形状？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [新知生成] 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离_____的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的_____，直线l叫做抛物线的_____． [学以致用]　1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若点P到点F(1，0)的距离和到直线x＝－2的距离相等，则点P的轨迹是抛物线． (　　) (2)若点P到点F(1，0)的距离和到直线x＋y－1＝0的距离相等，则点P的轨迹是抛物线． (　　) (3)若点P到点F(1，0)的距离比到直线x＝－2的距离小1，则点P的轨迹是抛物线． (　　) (4)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线． (　　) 探究2　抛物线的标准方程 问题2　如图，已知抛物线的焦点F到准线l的距离为p(p＞0)，试建立适当的平面直角坐标系，使得到的抛物线方程最为简单，并写出此方程． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [新知生成] 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ [典例讲评]　1．(1)已知实数x，y满足＝，其中常数p＞0，则动点P(x，y)的轨迹是(　　) A．射线　　　　　　 B．直线 C．抛物线 D．椭圆 (2)【链接教材P132例1(1)】 已知抛物线的方程是y＝－2 025x2，则它的准线方程为(　　) A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．y＝ (3)【链接教材P132例1(2)】 试求满足下列条件的抛物线的标准方程： ①过点(－3，2)； ②焦点在直线x－2y－4＝0上． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　1．求抛物线的标准方程一般采用待定系数法，即先定位(确定抛物线的开口方向)，再定量(确定参数p的值)．其中“定位”很关键，一般结合图形确定方程形式，避免漏解． 2．当抛物线的焦点位置没有确定时，可设方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，这样可以减少讨论不同情况的个数． 3．求焦点坐标与准线方程时，一般先将所给方程化为标准形式，由方程得到参数p，从而得到焦点坐标与准线方程． [学以致用]　2．(1)若抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点坐标为(1，0)，则p＝_____，准线方程为_____． (2)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5的抛物线的标准方程为_____． 探究3　抛物线定义的应用 [典例讲评]　【链接教材P133练习T3】 2．(1)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0等于(　　) A．1　　　　B．2　　　　C．4　　　　D．8 (2)已知点P是抛物线y2＝2x ... ...