【学霸笔记：同步精讲】第二章 2.5 2.5.2 圆与圆的位置关系 课件--2026版高中数学人教A版选必修1

复习任务群一 现代文阅读Ⅰ 把握共性之“新”　打通应考之“脉” 第二章 直线和圆的方程 2.5　直线与圆、圆与圆的位置关系 2.5.2　圆与圆的位置关系 [学习目标]　 1．了解圆与圆的位置关系．(数学抽象) 2．掌握圆与圆的位置关系的判定方法．(数学运算) 3．能利用圆与圆的位置关系解决有关问题．(逻辑推理、数学运算) [教用·问题初探]———通过让学生回答问题来了解预习教材的情况 问题1．圆与圆之间有怎样的位置关系，如何判定？ 问题2．圆与圆相交时，半径、公共弦、圆心距之间有怎样的数量关系？ 探究建构 关键能力达成 探究1　两圆位置关系的判断 问题　观察下面这些生活中常见的图形，感受一下圆与圆之间有哪些位置关系？ (1)圆与圆之间有几种位置关系？ (2)能否借助圆的方程来研究圆与圆的位置关系？ [提示]　(1)5种． (2)可以，借助圆的方程可以通过代数法和几何法两种途径． [新知生成] 1．几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1，r 2的关系 _____ _____ |r1－r2|r1＋r2 d＝r1＋r2 r1＋r2 d＝|r1－r2| d<|r1－r2| 2．代数法：设两圆的一般方程为： C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(????12+????12－4F1>0)， C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(????22+????22－4F2>0)， 联立方程得????2+????2+????1????+????1????+????1=0，????2+????2+????2????+????2????+????2=0． ? 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 __个 __个 __个 两圆的位置关系 ____ ____或____ ____或____ 2 1 0 相交 外切 内切 外离 内含 【教用·微提醒】　判断两圆的位置关系时，应优先使用几何法，因为利用代数法判断两圆位置关系时，若方程组无解或有一组解时，无法准确判断两圆的位置关系． [典例讲评]　【链接教材P96例5】 1．已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0(a＞0)，圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a＞0)．a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为： (1)相切？(2)相交？(3)外离？(4)内含？ [解]　圆C1，C2的方程，经配方后可得 C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1， 所以圆心C1(a，1)，C2(2a，1)，半径r1＝4，r2＝1． 所以|C1C2|＝?????2????2+1?12＝a． ? (1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切； 当|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切． (2)当3＜|C1C2|＜5，即3＜a＜5时，两圆相交． (3)当|C1C2|＞5，即a＞5时，两圆外离． (4)当|C1C2|＜3，即0＜a＜3时，两圆内含． 【教材原题·P96例5】 例5　已知圆C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0，圆C2：x2＋y2－4x－4y－2＝0，试判断圆C1与圆C2的位置关系． [分析]　思路1：圆C1与圆C2的位置关系由它们有几个公共点确定，而它们有几个公共点又由它们的方程所组成的方程组有几组实数解确定； 思路2：借助图形，可以依据圆心距与两半径的和r1＋r2或两半径的差的绝对值|r1－r2|的大小关系，判断两圆的位置关系． 解法1：将圆C1与圆C2的方程联立，得到方程组 ????2+????2+2????+8?????8=0，　①????2+????2?4?????4?????2=0．　② ①－②，得 x＋2y－1＝0，　③ 由③，得 y＝1?????2． ? 把上式代入①，并整理，得 x2－2x－3＝0．　④ 方程④的根的判别式 Δ＝(－2)2－4×1×(－3)＝16＞0， 所以，方程④有两个不相等的实数根x1，x2，把x1，x2分别代入方程③，得到y1，y2． 因此圆C1与圆C2有两个公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，这两个圆相交． 解法2：把圆C1的方程化成标准方程，得 (x＋1)2＋(y＋4)2＝25， 圆C1的圆心是(－1，－4)，半径r1＝5． 把圆C2的方程化成标准方程，得 (x－2)2＋(y－2)2＝10， 圆C2的圆心是(2，2)，半径r2 ... ...