【学霸笔记：同步精讲】第5章 5.1 5.1.1 平均变化率 讲义--2026版高中数学苏教版选必修1

5.1　导数的概念 5.1.1　平均变化率 学习任务 核心素养 1．了解平均变化率的实际背景． 2．理解平均变化率的含义．(重点) 3．会求函数在某一点附近的平均变化率，并能用平均变化率解释一些实际问题．(难点) 1．通过对函数的平均变化率概念的学习，培养数学抽象的核心素养． 2．通过利用平均变化率解释实际问题，培养数学建模的核心素养． 高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h(m)与起跳后的时间t(s)存在函数关系h(t)＝＋6.5t＋10．那么如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态？ 知识点　平均变化率 (1)平均变化率的定义：函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为． (2)平均变化率是曲线陡峭程度的“_____”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“_____”． 1．思考辨析 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对于函数y＝f(x)，当x从x1变为x2时，x2－x1一定大于0． (　　) (2)对于函数y＝f(x)，当x从x1变为x2时，函数值的变化量f(x2)－f(x1)可以是正数，也可以是负数或零． (　　) 2．若一质点按规律s＝8＋t2运动，则在一小段时间[2，2.1]内的平均速度是(　　) A．4 B．4.1 C．0.41 D．－1.1 类型1　求平均变化率 【例1】　(1)求函数f(x)＝3x2＋2在区间[2，2.1]上的平均变化率； (2)求函数g(x)＝3x－2在区间[－2，－1]上的平均变化率． [尝试解答]　_____ _____ 　求函数平均变化率的步骤是什么？ _____ [跟进训练] 1．如图，函数y＝f(x)在[1，5]上的平均变化率为(　　) A．　　　　　　 B．－ C．2 D．－2 2．已知函数f(x)＝x2＋2x－5，则f(x)在区间[－1，0]上的平均变化率为_____． 类型2　实际问题中的平均变化率 【例2】　【链接教材P188例1、例2】 (1)圆的半径r从0.1变化到0.3时，圆的面积S的平均变化率为_____． (2)在F1赛车中，赛车位移s(单位：m)与比赛时间t(单位：s)存在函数关系s＝10t＋5t2，则赛车在[20，20.1]上的平均速度是多少？ [尝试解答]　_____ _____ _____ _____ 　平均变化率问题在生活中随处可见，常见的有求某段时间内的平均速度、加速度、膨胀率、经济效益等．分清自变量和因变量是解决此类问题的关键． [跟进训练] 3．某森林公园在过去的10年里，森林占地面积变化如图所示，试分别计算前5年与后5年森林面积的平均变化率． _____ 类型3　函数平均变化率的应用 【例3】　汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示．在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为，则三者的大小关系是_____． 如何确定的大小关系？ [尝试解答]　_____ _____ [母题探究] 在本例中，汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象换为如图所示，则在下列区间上平均速度最大的是(　　) A．[0，1]　　　　　　 B． C． D． 　平均变化率的绝对值的大小反映函数在给定区间上变化的快慢，平均变化率的绝对值越大，函数在区间上的变化率越快；平均变化率的绝对值越小，函数在区间上的变化率越慢． [跟进训练] 4．甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图所示，则在[0，t0]这个时间段内，甲、乙两人的平均速度v甲，v乙的关系是_____．(填序号) ①v甲>v乙；②v甲s2(0)，则<， 所以在从0到t0这段时间内乙的平均速度大．] 1．函数f(x)＝x2＋c(c∈R)在区间上的平均变化率为(　　) A．2 B．4 C．c D．2c 2．一物体的运动方程是s＝3＋2t，则在[2，2.1]这段时间内的平均速度是(　　) A．0.4 B．2 C．0.3 D．0.2 3．若函数f＝x2－c在区间上的平均变化率为4，则m等于(　　) A． B．3 C．5 D．16 4．函数f(x)＝2x＋4在区间[a，b]上的平均变化率为_____． 5．(教材P190练习T3改编)已知函数f(x)＝ ... ...