类型1 导数的几何意义 1．导数的几何意义的应用：利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程y－y0＝f′(x0)·(x－x0)，明确“过点P(x0，y0)的曲线y＝f(x)的切线方程”与“在点P(x0，y0)处的曲线y＝f(x)的切线方程”的异同点． 2．围绕着切点有三个等量关系：切点(x0，y0)，则k＝f′(x0)，y0＝f(x0)，(x0，y0)满足切线方程，在求解参数问题中经常用到． 【例1】 已知函数f(x)＝x3＋x－16． (1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程； (2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标； (3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程． [解] (1)∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1， ∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13． ∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)， 即y＝13x－32． (2)设切点为(x0，y0)， 则直线l的斜率为f′(x0)＝＋1， ∴直线l的方程为 y＝＋x0－16． 又∵直线l过点(0，0)， ∴0＝＋x0－16． 整理得＝－8， ∴x0＝－2． ∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26． k＝3×(－2)2＋1＝13． ∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)． (3)∵切线与直线y＝－＋3垂直， ∴切线的斜率k＝4． 设切点坐标为(x0，y0)， 则f′(x0)＝＋1＝4， ∴x0＝±1． ∴或 即切点为(1，－14)或(－1，－18)． 切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18． 即y＝4x－18或y＝4x－14． 类型2 函数的单调性与导数 利用导数确定参数的取值范围时，要充分利用f(x)与其导数f′(x)之间的对应关系，然后结合函数的单调性等知识求解． 求解参数范围的步骤为： (1)对含参数的函数f(x)求导，得到f′(x)； (2)若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则f′(x)0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则f′(x)0恒成立，得到关于参数的不等式，解出参数范围； (3)验证参数范围中取等号时，是否恒有f′(x)＝0．若f′(x)＝0恒成立，则函数f(x)在(a，b)上为常函数，舍去此参数值． 【例2】 (1)若函数f(x)＝x－sin 2x＋a sin x在(－∞，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是( ) A．[－1，1] B． C． D． (2)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( ) A．(－∞，－1)∪(0，1) B．(－1，0)∪(1，＋∞) C．(－∞，－1)∪(－1，0) D．(0，1)∪(1，＋∞) (1)C (2)A [(1)f′(x)＝1－cos 2x＋a cos x＝1－(2cos2x－1)＋a cosx＝－cos2x＋a cosx＋，f(x)在R上单调递增， 则f′(x)0在R上恒成立，令cos x＝t，t∈[－1，1]， 则－t2＋at＋0在[－1，1]上恒成立， 即4t2－3at－50在[－1，1]上恒成立， 令g(t)＝4t2－3at－5， 则 解得－a，故选C． (2)令g(x)＝， 则g′(x)＝， 由题意知，当x＞0时，g′(x)＜0， ∴g(x)在(0，＋∞)上单调递减． ∵f(x)是奇函数，f(－1)＝0， ∴f(1)＝－f(－1)＝0， ∴g(1)＝＝0， ∴当x∈(0，1)时，g(x)＞0，从而f(x)＞0； 当x∈(1，＋∞)时，g(x)＜0，从而f(x)＜0． 又∵g(－x)＝＝＝＝g(x)(x≠0)， ∴g(x)是偶函数， ∴当x∈(－∞，－1)时，g(x)＜0，从而f(x)＞0； 当x∈(－1，0)时，g(x)＞0，从而f(x)＜0． 综上，所求x的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1)．故选A．] 类型3 函数的极值、最值与导数 1．求连续函数f(x)在区间[a，b]上的最值的方法 (1)若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增或递减，则f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值； (2)若函数f(x)在闭区间[a，b]内有极值，则要先求出[a，b]上的极值，再与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成． 2．已知函数的极值(最值)情况求参数的值(取值范围)的方法 根据极值和最值的关系，与最值有关的问 ... ...
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