【学霸笔记：同步精讲】第2章 2.1 第1课时 圆的标准方程 讲义--2026版高中数学苏教版选必修1

2.1　圆的方程 第1课时　圆的标准方程 学习任务 核心素养 1．会用定义推导圆的标准方程；掌握圆的标准方程的特点．(重点) 2．会根据已知条件求圆的标准方程．(重点、难点) 3．能准确判断点与圆的位置关系．(易错点) 通过对圆的标准方程的学习，提升直观想象、逻辑推理、数学运算的数学素养． 如图所示，设平面直角坐标系中⊙C的圆心坐标为C(1，2)，而且半径为2． (1)判断点A(3，2)是否在⊙C上； (2)设M(x，y)是平面直角坐标系中任意一点，那么M在⊙C上的充要条件是什么？此时x，y要满足什么关系式？ 知识点1　圆的标准方程 (1)圆的定义：平面内到____的距离等于____的点的集合叫作圆，定点就是圆心，定长就是圆的半径． (2)圆的标准方程：圆心为A(a，b)、半径长为r的圆的标准方程是_____． 当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以_____为圆心、半径为r的圆． 平面内确定圆的要素是什么？ _____ 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2表示圆． (　　) (2)若圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝m2(m≠0)，则圆心为(a，b)，半径为m． (　　) (3)圆心是原点的圆的标准方程是x2＋y2＝r2(r＞0)． (　　) 2．以原点为圆心、2为半径的圆的标准方程是 (　　) A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝4 C．(x－2)2＋(y－2)2＝8 D．x2＋y2＝ 知识点2　点与圆的位置关系 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，设d＝|PC|＝． 位置 关系 d与r的大小 图示 点P的坐标的特点 点在 圆外 d__r (x0－a)2＋(y0－b)2__r2 点在圆上 d__r (x0－a)2＋(y0－b)2__r2 点在 圆内 d__r (x0－a)2＋(y0－b)2__r2 3．已知点P(1，－1)在圆(x＋2)2＋y2＝m的内部，则实数m的取值范围是_____． 类型1　求圆的标准方程 【例1】　【链接教材P56例1】 求过点A(1，－1)，B(－1，1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的标准方程． [尝试解答]　_____ _____ _____ 　确定圆的标准方程的方法 (1)几何法 利用图形的几何性质，如圆的性质等，直接求出圆的圆心和半径，代入圆的标准方程，从而得到圆的标准方程． (2)待定系数法 待定系数法是求圆的方程最常用的方法，一般步骤是： ①设—设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2； ②列—由已知条件，建立关于a，b，r的方程组； ③解—解方程组，求出a，b，r； ④代—将a，b，r代入所设方程，得所求圆的方程． [跟进训练] 1．已知圆C经过A(5，1)，B(1，3)两点，圆心在x轴上，则C的标准方程为_____． 类型2　圆的标准方程的实际应用 【例2】　【链接教材P56例2】 一艘船在航行过程中发现前方的河道上有一座圆拱桥．在正常水位时，拱桥最高点距水面8 m，拱桥内水面宽32 m，船只在水面以上部分高6.5 m，船顶部宽8 m，故通行无阻，如图所示． (1)建立适当的平面直角坐标系，求正常水位时圆弧所在的圆的方程； (2)近日水位暴涨了2 m，船已经不能通过桥洞了．船员必须加重船载，降低船身在水面以上的高度，试问：船身至少降低多少米才能通过桥洞？(精确到0.1 m，≈2.45) [尝试解答]　_____ _____ _____ _____ _____ 　解析几何在求解实际应用问题时，有着广泛的应用．应用解析法研究与平面图形有关的实际问题，关键是结合图形特点，建立合适的平面直角坐标系，将几何问题转化为代数运算． [跟进训练] 2．已知隧道的截面是半径为4 m的半圆，车辆只能在道路中心线的一侧行驶，问一辆宽为2.7 m，高为3 m的货车能不能驶入？ _____ _____ 类型3　与圆有关的最值问题 【例3】　已知x和y满足(x＋1)2＋y2＝，试求x2＋y2的最值． 1．点(x，y)所在的曲线是什么？ 2．x2＋y2的几何意义是什么？ [尝试解答]　_____ _____ [母题探究] 1．(变条件)把本例中圆的方程变为(x＋1)2＋y2＝4，则过(0，0)的弦 ... ...