【学霸笔记：同步精讲】第2章 2.1 第2课时 圆的一般方程 讲义--2026版高中数学苏教版选必修1

第2课时　圆的一般方程 学习任务 核心素养 1．正确理解圆的方程的一般形式及特点，会由一般式求圆心和半径．(重点) 2．会在不同条件下求圆的一般方程．(重点) 1．通过对圆的一般方程的推导，提升逻辑推理、数学运算的数学素养． 2．通过学习圆的一般方程的应用，培养数学运算的数学素养． (1)把(x－a)2＋(y－b)2＝r2展开是一个什么样的关系式？ (2)把x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0配方后，将得到怎样的方程？这个方程一定表示圆吗？在什么条件下一定表示圆？ 这就是今天我们将要研究的问题． 知识点　圆的一般方程 (1)圆的一般方程的概念 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(_____)叫作圆的一般方程．其中圆心为_____，圆的半径为r＝_____． (2)对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的说明 方程 条件 图形 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 D2＋E2－4F＜0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0 表示一个点 D2＋E2－4F＞0 表示以点为圆心，为半径的圆 方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是什么？ _____ 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何一个圆的方程都能写为一个二元二次方程． (　　) (2)圆的一般方程和标准方程可以互化． (　　) (3)方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆心为，半径为的圆． (　　) (4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则＋Dx0＋Ey0＋F>0． (　　) 2．若方程x2＋y2＋2λx＋2λy＋ 2λ2―λ＋1＝0表示圆，则λ的取值范围是(　　) A．(1，＋∞)　　　　　　 B．，1 C．(1，＋∞)∪－∞， D．R A　[因为方程x2＋y2＋2λx＋2λy＋2λ2―λ＋1＝0表示圆，所以D2＋E2―4F＞0， 即4λ2＋4λ2―4(2λ2―λ＋1)＞0，解不等式得λ＞1，即λ的取值范围是(1，＋∞)．故选A．] 3．过点(0，0)，(4，0)和(0，6)三点的圆的一般方程为_____． 类型1　圆的一般方程的认识 【例1】　若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求： (1)实数m的取值范围； (2)圆心坐标和半径． [尝试解答]　_____ _____ 　解答该类型的题目，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，当它具备圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆，此时有两种途径，一看D2＋E2－4F是否大于零，二是直接配方变形，看方程等号右端是否为大于零的常数． [跟进训练] 1．下列方程各表示什么图形？若表示圆，求其圆心和半径． (1)x2＋y2＋x＋1＝0； (2)x2＋y2＋2ax＋a2＝0(a≠0)； (3)2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)． _____ _____ 类型2　求圆的一般方程 【例2】　【链接教材P58例3】 已知△ABC的三个顶点为A(1，4)，B(－2，3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径． [尝试解答]　_____ _____ 　利用待定系数法求圆的一般方程的步骤 (1)根据题意，设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0； (2)根据已知条件，建立关于D，E，F的方程组； (3)解方程组，求出D，E，F的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的一般方程． [跟进训练] 2．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为，求圆的一般方程． _____ _____ 类型3　与圆有关的轨迹问题 【例3】　点A(2，0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1，1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点． (1)求线段AP的中点M的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程． 1．线段AP的中点M的坐标为M(x，y)，那么点P的坐标是什么？ 2．直角三角形斜边上的中线与斜边有什么关系？ [尝试解答]　_____ _____ _____ _____ [母题探究] 1．(变结论)在本例条件不变的情况下，求过点B的弦的中点T的轨迹方程． _____ 2．(变结论)本例条件不变，求BP的中点E的轨迹方程． _____ 　1．直接法求轨迹方程的一般步骤 (1)建立适当坐标系，设出动点M 的坐标(x，y)； (2)列 ... ...