【学霸笔记：同步精讲】第3章 3.1.2 第1课时 椭圆的几何性质 讲义--2026版高中数学苏教版选必修1

3.1.2　椭圆的几何性质 第1课时　椭圆的几何性质 学习任务 核心素养 1．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形．(重点) 2．根据几何条件求出曲线方程，利用曲线的方程研究它的性质，并能画出相应的曲线．(重点、难点) 1．通过对椭圆性质的学习与应用，培养数学运算的核心素养． 2．借助离心率问题的求解，提升直观想象与逻辑推理的核心素养． 奥地利维也纳金色大厅的顶棚设计为椭圆面，舞台在这个椭圆面的一个焦点处．当乐队在舞台上演奏时，椭圆面顶棚会把声音反射到椭圆面的另一个焦点处汇聚，因此在这个焦点处的听众就感到还有另外一个乐队存在(其实什么都没有)，所以能产生很好的听觉效果．其实这就是利用了本节课要学习的椭圆的几何性质，那么椭圆还有什么其他的几何性质呢？ 知识点1　椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＝1(a＞b＞0) (a>b>0) 范围 _____ _____ 对称性 对称轴为_____，对称中心为____ 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b，0)，B2(b，0) 轴长 短轴长|B1B2|＝__，长轴长|A1A2|＝__， 其中a和b分别叫作椭圆的长半轴长和短半轴长 焦点 _____ _____ 焦距 |F1F2|＝__ 1．经过点P(3，0)，Q(0，2)的椭圆的标准方程为(　　) A．＝1 B．＝1 C．＝1 D．＝1 2．椭圆的长轴长是短轴长的2倍，它的一个焦点为(0，)，则椭圆的标准方程是_____． 知识点2　离心率 (1)定义：焦距与长轴长的比叫作椭圆的离心率，记为e． (2)性质：离心率e的范围是_____．当e越接近于1时，椭圆____；当e越接近于_时，椭圆就越接近于圆． 离心率相同的椭圆是同一椭圆吗？ _____ 类型1　由椭圆方程研究几何性质 【例1】　【链接教材P89例1】 (1)椭圆＝1(a＞b＞0)与椭圆＝λ(λ＞0且λ≠1)有(　　) A．相同的焦点　　　　　　 B．相同的顶点 C．相同的离心率 D．相同的长、短轴 [尝试解答]　_____ _____ (2)求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标． [尝试解答]　_____ _____ [母题探究] 1．(变条件)本例(1)中把方程“＝λ(λ＞0且λ≠1)”改为“＝1(λ≠0)”，结果会怎样呢？ _____ 2．(变条件)本例(2)中，把方程改为“16x2＋9y2＝144”，结果又会怎样呢？ _____ 　由标准方程研究性质时的两点注意 (1)已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，进而确定椭圆的类型． (2)焦点位置不确定的要分类讨论，找准a与b，正确利用a2＝b2＋c2求出焦点坐标，再写出顶点坐标．同时要注意长轴长、短轴长、焦距不分别是a，b，c，而应分别是2a，2b，2c． 类型2　由几何性质求椭圆的方程 【例2】　求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)椭圆过点(3，0)，离心率e＝； (2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8； (3)经过点M(1，2)，且与椭圆＝1有相同的离心率． [尝试解答]　_____ _____ _____ 　利用椭圆的几何性质求标准方程的思路 (1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是： ①确定焦点位置； ②设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)； ③根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝等． (2)在椭圆的简单几何性质中，由轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个． 提醒：与椭圆＝1(a>b>0)有相同离心率的椭圆方程为＝k1(k1>0，焦点在x轴上)或＝k2(k2>0，焦点在y轴上)． [跟进训练] 已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且过点A(3，0)，并且以坐标轴为对称轴，求椭圆的标准方程． _____ _____ 类型 ... ...