【学霸笔记：同步精讲】第3章 3.3.1 抛物线的标准方程 讲义--2026版高中数学苏教版选必修1

3.3　抛物线 3.3.1　抛物线的标准方程 学习任务 核心素养 1．了解抛物线的定义、几何图形和标准方程．(重点) 2．明确p的几何意义，掌握抛物线的简单应用．(难点) 1．通过对抛物线定义的学习，培养数学抽象核心素养． 2．通过对抛物线定义及标准方程的应用，培养直观想象、数学建模等核心素养． 我们已经学习了椭圆、双曲线两种圆锥曲线，今天我们来学习第三种圆锥曲线———抛物线． 在物理上，抛物线被认为是抛射物体的运行轨道；在数学中，抛物线是二次函数的图象． 现在来做一个实验． 如图，把一根直尺固定在画图板内，直线l的位置上，一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘，把一根绳子的一端固定于三角板的顶点A处，截取绳子的长等于A到l的距离AC，并且把绳子另一端固定在图板上的一点F处；用一支铅笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺上下滑动，这样铅笔就画出了一条曲线，这条曲线就叫作抛物线． 知识点1　抛物线的定义 平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离____的点的轨迹叫作抛物线．定点F叫作抛物线的____，定直线l叫作抛物线的____． 抛物线的定义中，若点F在直线l上，那么点的轨迹是什么？ _____ 知识点2　抛物线的标准方程 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 _____ (p>0) _____ _____ _____ (p>0) _____ _____ _____ (p>0) _____ _____ _____ (p>0) _____ _____ 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)y＝4x2的焦点坐标为(1，0)． (　　) (2)以(0，1)为焦点的抛物线的方程为x2＝4y． (　　) 2．抛物线y＝4ax2(a∈R且a≠0)的焦点坐标为_____． 类型1　求抛物线的标准方程 【例1】　【链接教材P111例1、例2】 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)准线方程为2y＋4＝0； (2)过点(3，－4)； (3)焦点在直线x＋3y＋15＝0上． [尝试解答]　_____ _____ 　1．用待定系数法求抛物线标准方程的步骤 2．求抛物线的标准方程时需注意的三个方面 (1)把握开口方向与方程一次项系数的对应关系； (2)当抛物线的位置不确定时，可设方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，这样可以减少讨论次数； (3)注意p与的几何意义． [跟进训练] 1．根据下列条件分别求出抛物线的标准方程： (1)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5； (2)经过点(－3，－1)； (3)焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点． _____ 类型2　抛物线定义的应用 【例2】　已知抛物线y2＝4x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，对于定点A(4，2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时的P点坐标． [思路探究]　利用抛物线的定义，把|PF|转化成点P到准线的距离． [尝试解答]　_____ _____ 　抛物线定义的两种应用 (1)实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题． (2)解决最值问题．在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题． [跟进训练] 2．已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到点A(0，2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值． _____ _____ 类型3　抛物线的实际应用 【例3】　河上有座抛物线形拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面的部分高米，问：水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？ [尝试解答]　_____ _____ 　求解抛物线实际应用题的步骤 [跟进训练] 3．一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过断面为抛物线形的隧道，如图所示，已知拱口宽AB恰好是拱高OD的4倍．若拱口宽为a m，求能使卡车通过的a的最小整数值． _____ _____ 1．准线与x轴垂直，且经 ... ...