【学霸笔记：同步精讲】第3章 3.3.2 抛物线的几何性质 讲义--2026版高中数学苏教版选必修1

3.3.2　抛物线的几何性质 学习任务 核心素养 1．掌握抛物线的几何性质．(重点) 2．掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题．(重点) 3．能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦中点等问题．(难点) 1．通过对抛物线几何性质的应用，培养数学运算的核心素养． 2．通过对直线与抛物线的位置关系、焦点弦及中点弦、抛物线综合问题的学习，提升逻辑推理、直观想象及数学运算的核心素养． 一抛物线形拱桥跨度为4米，拱顶离水面2米，水面上漂浮一个宽2米，高出水面1.6米的大木箱，问：木箱能否通过该拱桥？ 为了解决这个问题，我们先来研究一下抛物线的简单几何性质． 知识点1　抛物线的几何性质 标准方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py (p＞0) 图形 性质 焦点 开口 方向 向右 向左 向上 向下 准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 在y轴的右侧 在y轴的左侧 在x轴的上方 在x轴的下方 对称性 关于x轴对称 关于y轴对称 顶点 离心率 e＝1 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)抛物线是无中心的圆锥曲线． (　　) (2)抛物线y＝－x2的准线方程为x＝． (　　) (3)过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点且垂直于对称轴的弦长为2p． (　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)√ 2．顶点在原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是(　　) A．x2＝16y B．x2＝8y C．x2＝±8y D．x2＝±16y D　[顶点到准线的距离为，则＝4．解得p＝8，又因对称轴为y轴，则抛物线方程为x2＝±16y．] 知识点2　通径 通过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点且垂直于x轴的直线与抛物线交于点和．线段M1M2叫作抛物线的通径，它的长为2p． 知识点3　焦点弦 直线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，故|AB|＝x1＋x2＋p． 3．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则|AB|＝(　　) A．10 B．8 C．6 D．4 B　[|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8．] 知识点4　直线与抛物线的位置关系 直线与抛物线有三种位置关系：相离、相切和相交． 设直线y＝kx＋m与抛物线y2＝2px(p＞0)相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，将y＝kx＋m代入y2＝2px，消去y并化简，得k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0． ①k＝0时，直线与抛物线只有一个交点； ②k≠0时，Δ＞0 直线与抛物线相交 有两个公共点． Δ＝0 直线与抛物线相切 只有一个公共点． Δ＜0 直线与抛物线相离 没有公共点． 直线与抛物线只有一个公共点，那么直线与抛物线一定相切吗？ [提示]　可能相切，也可能相交，当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线相交且只有一个公共点． 类型1　抛物线性质的应用 【例1】　(1)已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长等于2，则抛物线的方程为_____． (2)如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，求抛物线的方程． (1)y2＝3x或y2＝－3x　[根据抛物线和圆的对称性知，其交点纵坐标为±，交点横坐标为±1，则抛物线过点(1，)或(－1，)，设抛物线方程为y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，则2p＝3，从而抛物线方程为y2＝3x或y2＝－3x．] (2)[解]　如图，分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D， 设|BF|＝a，则由已知得 |BC|＝2a， 由定义得|BD|＝a， 故∠BCD＝30°， 在Rt△ACE中，∵|AF|＝4，|AC|＝4＋3a， ∴2|AE|＝|AC|，∴4＋3a＝8，从而得a＝， ∵BD∥FG， ∴＝，p＝2．因此抛物线的方程是y2＝4x． 　把握三个要点确定抛物线的简单几何性质 (1)开口：由抛物线的标准方程看图象开口，关键是看准一次项是x还是y，一次项的系数是正还是负． (2)关系：顶点位 ... ...