【学霸笔记：同步精讲】第3章 3.1 3.1.1 椭圆的标准方程 讲义--2026版高中数学湘教版选必修1

3.1　椭圆 3.1.1　椭圆的标准方程 学习任务 核心素养 1．理解椭圆的定义及椭圆的标准方程．(重点) 2．掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．(重点) 3．理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．(难点) 1．通过椭圆标准方程及椭圆焦点三角形的有关问题的学习，培养数学运算素养． 2．借助轨迹方程的学习，培养逻辑推理及直观想象素养． 在日常生活与学习中，可以见到很多有关椭圆的形状，如图所示． 我们还知道，圆是平面内到圆心的距离等于半径的点的集合，圆上的点的特征是：任意一点到圆心的距离都等于半径．那么，你能说说什么是椭圆吗？椭圆上任意一点的特征是什么？ 知识点1　椭圆的定义 (1)定义：平面上到两个定点F1，F2的距离之和为常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫作椭圆．这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点之间的距离|F1F2|叫作椭圆的焦距． (2)几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数)且2a>|F1F2|． 1．(1)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其他条件不变，点的轨迹是什么？ (2)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“小于|F1F2|”，其他条件不变，动点的轨迹是什么？ [提示]　(1)点的轨迹是线段F1F2． (2)当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在． 1．下列说法中，正确的是(　　) A．到点M(－3，0)，N(3，0)的距离之和等于4的点的轨迹是椭圆 B．到点M(0，－3)，N(0，3)的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆 C．到点M(－3，0)，N(3，0)的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆 D．到点M(0，－3)，N(0，3)的距离相等的点的轨迹是椭圆 C　[由椭圆的定义知，C正确．] 知识点2　椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＝1 (a＞b＞0)焦点 (－c，0)与(c，0) (0，－c)与(0，c) a，b，c的关系 c2＝a2－b2 2．能否根据椭圆的标准方程，判定焦点位置？ [提示]　能．椭圆的焦点在x轴上 标准方程中含x2项的分母较大；椭圆的焦点在y轴上 标准方程中含y2项的分母较大． 2．(1)若椭圆方程为＝1，则其焦点在_____轴上，焦点坐标为_____． (2)已知a＝5，c＝2，焦点在y轴上，则椭圆的标准方程为_____． (1)x　(2，0)和(－2，0)　(2)＝1　[(1)因为10>6，所以焦点在x轴上，且a2＝10，b2＝6， 所以c2＝10－6＝4，c＝2， 故焦点坐标为(2，0)和(－2，0)． (2)由已知得b2＝a2－c2＝21，于是椭圆的标准方程为＝1．] 类型1　求椭圆的标准方程 【例1】　求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)焦点在y轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0)； (2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0，2)，并且椭圆经过点； (3)经过点P，Q． [解]　(1)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为＝1(a>b>0)． 又椭圆经过点(0，2)和(1，0)， 所以解得 所以所求的椭圆的标准方程为＋x2＝1． (2)因为椭圆的焦点在y轴上， 所以设它的标准方程为＝1(a>b>0)． 法一：由椭圆的定义知， 2a＝ ＝2， 即a＝， 又c＝2，所以b2＝a2－c2＝6， 所以所求椭圆的标准方程为＝1． 法二：因为所求椭圆经过点，所以＝1， 又c2＝a2－b2＝4， 可解得a2＝10，b2＝6． 所以椭圆的标准方程为＝1． (3)法一：①当椭圆焦点在x轴上时， 可设椭圆的标准方程为＝1(a>b>0)． 依题意，有 解得 由a>b>0，知不合题意，故舍去； ②当椭圆焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为 ＝1(a>b>0)． 依题意，有 解得 所以所求椭圆的标准方程为＝1． 法二：设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)． 则解得 所以所求椭圆的方程为5x2＋4y2＝1， 故椭圆的标准方程为＝1． 　用待定系数法求椭圆标准方程的步骤 (1)定位置：根据条件判断椭圆的焦点是在x轴上，在y轴上，还是两个坐标轴都有可能． (2)设方程：根据上述判断设方程＝1(a＞b＞0)或＝1(a＞b＞0)或整式形式mx2＋ny2＝1( ... ...