【学霸笔记：同步精讲】第3章 3.1 3.1.2 第1课时 椭圆的简单几何性质 讲义--2026版高中数学湘教版选必修1

3.1.2　椭圆的简单几何性质 第1课时　椭圆的简单几何性质 学习任务 核心素养 1．掌握椭圆的几何性质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义．(重点) 2．能根据几何性质求椭圆方程，解决相关问题．(难点、易混点) 通过研究椭圆的几何性质，提升直观想象、逻辑推理与数学运算素养． 已知椭圆C的方程为＋y2＝1，根据这个方程完成下列任务： (1)观察方程中x与y是否有取值范围，由此指出椭圆C在平面直角坐标系中的位置特征； (2)指出椭圆C是否关于x轴、y轴、原点对称； (3)指出椭圆C与坐标轴是否有交点，如果有，求出交点坐标． 知识点　椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＝1(a＞b＞0) ＝1(a>b>0) 范围 －axa且－byb －bxb且－aya 对称性 对称轴为坐标轴，对称中心为原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b，0)，B2(b，0) 轴长 短轴长|B1B2|＝2b，长轴长|A1A2|＝2a 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 离心率 e＝∈(0，1) (1)离心率对椭圆扁圆程度有什么影响？ (2)椭圆上的点到焦点的距离的最大值和最小值分别是多少？ [提示]　(1)e越大(接近于1)，椭圆越扁，e越小(接近于0)，椭圆越圆． (2)最大值a＋c，最小值a－c． (1)经过点P(3，0)，Q(0，2)的椭圆的标准方程为(　　) A．＝1　　　　　　 B．＝1 C．＝1 D．＝1 (2)已知椭圆＝1，则椭圆的离心率e＝_____． (1)A　(2)　[(1)由题易知点P(3，0)，Q(0，2)分别是椭圆长轴和短轴的一个端点，故椭圆的焦点在x轴上，所以a＝3，b＝2，故椭圆的标准方程为＝1． (2)由题意知a2＝16，b2＝9，则c2＝7， 从而e＝＝．] 类型1　由椭圆方程研究其几何性质 【例1】　(1)椭圆＝1(a＞b＞0)与椭圆＝λ(λ＞0且λ≠1)有(　　) A．相同的焦点　　　　　 B．相同的顶点 C．相同的离心率 D．相同的长、短轴 (2)设椭圆方程mx2＋4y2＝4m(m>0)的离心率为，试求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标及顶点坐标． (1)C　[在两个方程的比较中，端点a、b取值均不同，故A，B，D都不对，而a，b，c虽然均不同，但倍数增长一样，所以比值不变，故应选C．] (2)[解]　椭圆方程可化为＝1． ①当04时，a＝，b＝2， ∴c＝， ∴e＝＝＝，解得m＝， ∴a＝，c＝， ∴椭圆的长轴长和短轴长分别为，4，焦点坐标为F1，F2，顶点坐标为A1，A2，B1(－2，0)，B2(2，0)． 　根据椭圆的标准方程研究其几何性质的基本步骤 (1)将椭圆方程化为标准形式． (2)确定焦点位置．(焦点位置不确定的要分类讨论) (3)求出a，b，c． (4)写出椭圆的几何性质． [跟进训练] 1．已知椭圆C1：＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上． (1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆C2的方程，并研究其几何性质． [解]　(1)由椭圆C1：＝1，可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标为(6，0)，(－6，0)，离心率e＝． (2)椭圆C2：＝1． 几何性质如下： ①范围：－8x8，－10y10；②对称性：对称轴：x轴、y轴，对称中心：原点；③顶点：长轴端点(0，10)，(0，－10)，短轴端点(－8，0)，(8，0)；④焦点：(0，6)，(0，－6)；⑤离心率：e＝，焦距为12． 类型2　由椭圆的几何性质求其标准方程 【例2】　【链接教材P124例4】 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)椭圆过点(3，0)，离心率e＝； (2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8； (3)经过点M(1，2)，且与椭圆＝1有相同的 ... ...