【学霸笔记：同步精讲】第3章 3.3 3.3.2 第1课时 抛物线的简单几何性质 讲义--2026版高中数学湘教版选必修1

3.3.2　抛物线的简单几何性质 第1课时　抛物线的简单几何性质 学习任务 核心素养 1．掌握抛物线的几何性质．(重点) 2．掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题．(重点) 3．能利用方程及数形结合思想解决焦点弦等问题．(难点) 1．通过抛物线几何性质的应用，培养数学运算素养． 2．通过直线与抛物线的位置关系、焦点弦等问题的学习，提升逻辑推理、直观想象及数学运算素养． 已知抛物线C的方程为y2＝2x，根据这个方程完成下列任务： (1)观察方程中x与y是否有取值范围，由此指出抛物线C在平面直角坐标系中的位置特征； (2)指出抛物线C是否具有对称性； (3)指出抛物线C与坐标轴是否有交点，如果有，求出交点坐标． 知识点1　抛物线的几何性质 标准方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py (p＞0) 图形 性质 焦点 准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R _____ _____ 对称轴 ___ ___ 顶点 离心率 e＝__ 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)抛物线关于顶点对称． (　　) (2)抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心． (　　) (3)抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同． (　　) 知识点2　直线与抛物线的位置关系 直线与抛物线有三种位置关系：____、____和____． 设直线y＝kx＋m与抛物线y2＝2px(p＞0)相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，将y＝kx＋m代入y2＝2px，消去y并化简，得k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0． ①k＝0时，直线与抛物线只有____交点； ②k≠0时，Δ＞0 直线与抛物线____ 有__个公共点． Δ＝0 直线与抛物线____ 只有__个公共点． Δ＜0 直线与抛物线____ ____公共点． 直线与抛物线只有一个公共点，那么直线与抛物线一定相切吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2．若直线y＝kx＋2与y2＝x只有一个公共点，则实数k的值为_____． 知识点3　直线与抛物线相交的弦长问题 (1)一般弦长 设斜率为k的直线l与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝|x1－x2|＝或|AB|＝·|y1－y2|＝(k≠0)． (2)焦点弦长 已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，则称AB为抛物线的焦点弦．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知，|AF|＝_____，|BF|＝_____，故|AB|＝_____． 3．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝10，则弦AB的长度为(　　) A．16　　　　　　　　 B．14 C．12 D．10 类型1　抛物线性质的应用 【例1】　(1)已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长等于2，则抛物线的方程为_____． (2)如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，求抛物线的方程． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时具有广泛的应用，但是在解题的过程中又容易忽视这些隐含的条件．其中应 ... ...