【学霸笔记：同步精讲】第1章 1.2 1.2.2 等差数列与一次函数 讲义--2026版高中数学湘教版选必修1

1.2.2　等差数列与一次函数 学习任务 核心素养 1．理解等差数列与一次函数的关系．(重点) 2．能运用等差数列的性质解决有关问题．(难点) 1．通过学习等差数列与一次函数的关系，培养数学抽象素养． 2．通过等差数列性质的学习，体现了数学运算素养． 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种质量单位) 知识点1　等差数列与一次函数的关系 1．等差数列的图象 对于一般的等差数列{an}，其通项公式为an＝a1＋(n－1)d，将其中的正整数自变量n换成实数自变量x，得到y＝a1＋(x－1)d＝dx＋(a1－d)， 当d≠0时，是一次函数(其中一次项系数为等差数列的公差d)；当d＝0时，y＝a1(a1为常数)，这两种情形的函数图象都是直线．等差数列的图象由这条直线上横坐标为正整数n的孤立点(n，an)组成． 2．等差数列的单调性与其公差d的关系 当d＞0时，直线y＝dx＋(a1－d)从左至右____，等差数列{an}____； 当d＜0时，直线y＝dx＋(a1－d)从左至右____，等差数列{an}____； 当d＝0时，y＝a1为____方向的直线，数列为__数列． 1．由an＝a1＋(n－1)d可得d＝，d＝，你能联系直线的斜率解释一下这两个式子的几何意义吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．已知数列{an}是等差数列，a4＝15，a7＝27，则过点P(3，a3)，Q(5，a5)的直线斜率为(　　) A．4　　　　B．　　　　C．－4　　　　D．－ 知识点2　等差数列的性质 (1){an}是公差为d的等差数列，若正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则am＋an＝_____． ①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N＋)时，am＋an＝2ak． ②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的__，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…． (2)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为____数列． (3)若{an}是公差为d的等差数列，则 ①{c＋an}(c为任一常数)是公差为_的等差数列； ②{can}(c为任一常数)是公差为__的等差数列； ③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N＋)是公差为___的等差数列． (4)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为_____的等差数列． (5){an}的公差为d，则d>0 {an}为____数列； d<0 {an}为____数列；d＝0 {an}为常数列． 2．若{an}为等差数列，且m＋n＝p(m，n，p∈N＋)，则am＋an＝ap一定成立吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若{an}是等差数列，则{|an|}也是等差数列． (　　) (2)若{|an|}是等差数列，则{an}也是等差数列． (　　) (3)若{an}是等差数列，则对任意n∈N＋都有2an＋1＝an＋an＋2． (　　) 类型1　等差数列的函数性质 【例1】　【链接教材P16例5】 已知(2，1)，(4，5)是等差数列{an}图象上的两点． (1)求数列{an}的通项公式． (2)判断(n，17)是否是{an}图象上的点，若是，求出n的值；若不是，说明理由． (3)判断这个数列的单调性，并求其最小的正数项． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　 ... ...