【学霸笔记：同步精讲】第1章 1.3 1.3.2 等比数列与指数函数 讲义--2026版高中数学湘教版选必修1

1.3.2　等比数列与指数函数 学习任务 核心素养 1．掌握等比数列的性质．(重点) 2．理解等比数列与指数函数的关系．(重点、难点) 1．借助等比数列与指数函数的关系及应用，培养数学抽象素养． 2．通过等比数列性质的应用，培养数学运算素养． 在等差数列{an}中，存在很多的性质，如 (1)若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N＋)． (2)若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap． (3)若l1，l2，l3，l4，…，ln成等差数列，则也成等差数列． 那么如果该数列为等比数列，能否求出等比数列的相类似的性质呢？ 知识点1　等比数列的函数性质 对于等比数列{an}，an＝a1qn-1，当q<0时，数列{an}是摆动数列，当q>0时，情况如下： a1 a1>0 a1<0 q的范围 01 01 {an}的单调性 ____ 常数列 ____ ____ 常数列 ____ 1．已知数列{an}满足a1>0，对一切n∈N＋，＝，则数列{an}是(　　) A．递增数列　　　　　 B．递减数列 C．摆动数列 D．不确定 知识点2　推广的等比数列的通项公式 {an}是等比数列，首项为a1，公比为q，则an＝a1qn-1，an＝_____(m，n∈N＋)． 2．在等比数列{an}中，a3＝8，a6＝64，则公比q是(　　) A．2　　　　B．3　　　　C．4　　　　D．5 知识点3�———�子数列”性质 对于无穷等比数列{an}，若将其前k项去掉，剩余各项仍为____数列，首项为_____，公比为_；若取出所有的k的倍数项，组成的数列仍为____数列，首项为__，公比为__． 3．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是(　　) A．a1，a3，a9成等比数列 B．a2，a3，a6成等比数列 C．a2，a4，a8成等比数列 D．a3，a6，a9成等比数列 知识点4　等比数列项的运算性质 在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则am·an＝_____． ①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N＋)时，am·an＝． ②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的__，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝…． 4．在等比数列{an}中，已知a7·a12＝5，则a8·a9·a10·a11＝(　　) A．－25　　　B．25　　　C．10　　　D．20 类型1　灵活设项求解等比数列 【例1】　有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，第一个数与第四个数的和为21，中间两个数的和为18，求这四个数． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　巧设等差数列、等比数列的方法 (1)若三数成等差数列，常设成a－d，a，a＋d．若三数成等比数列，常设成，a，aq或a，aq，aq2． (2)若四个数成等比数列，可设为，a，aq，aq2．若四个正数成等比数列，可设为，aq，aq3． [跟进训练] 1．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 类型2　等比数列的性质及应用 【例2】　(1)已知a，b，c，d成等比 ... ...