【学霸笔记：同步精讲】第1章 1.3 1.3.3 第2课时 等比数列前n项和的性质及应用 讲义--2026版高中数学湘教版选必修1

第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 学习任务 核心素养 1．掌握等比数列前n项和的性质及应用．(重点) 2．掌握等差数列与等比数列的综合应用．(重点) 3．能用分组转化法求数列的和．(重点、易错点) 1．通过等比数列前n项和公式的函数特征的学习，体现了逻辑推理素养． 2．借助等比数列前n项和性质的应用及分组求和，培养数学运算素养． 在等比数列{an}中，当q≠1时，Sn＝＝．可以把Sn写成Sn＝Aqn－A的形式，这是等比数列前n项和的性质之一．对比等差数列前n项和的性质，那么等比数列的前n项和还有其他哪些性质？ 知识点　等比数列前n项和的性质 (1)性质一：若Sn表示数列{an}的前n项和，且Sn＝Aqn－A(Aq≠0，q≠±1)，则数列{an}是____数列． (2)性质二：若数列{an}是公比为q的等比数列，则 ①在等比数列中，若项数为2n(n∈N＋)，则＝_． ②在等比数列中，若项数为2n＋1(n∈N＋)，则＝q． ③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列，公比是__． 1．在数列{an}中，an＋1＝can(c为非零常数)且前n项和Sn＝3n-1＋k，则实数k的取值是_____． 2．一个等比数列{an}的前n项和为48，前2n项和为60，则前3n项和为(　　) A．63　　　　B．108　　　　C．75　　　　D．83 类型1　等比数列前n项和性质的应用 【例1】　(1)等比数列{an}的前n项和为Sn，S2＝7，S6＝91，则S4为(　　) A．28　　B．32　　C．21　　D．28或－21 (2)等比数列{an}中，公比q＝3，S80＝32，则a2＋a4＋a6＋…＋a80＝_____． (1)发现S2，S4，S6之间的关系，可以直接求出S4；也可以试着用公式，直接解决． (2)尝试用＝q，S奇＋S偶＝S2n求解． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [母题探究] 1．(变条件)将例题(1)中的条件“S2＝7，S6＝91”改为“正数等比数列中Sn＝2，S3n＝14”，求S4n的值． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2．(变条件，变结论)将例题(1)中条件“S2＝7，S6＝91”改为“公比q＝2，S99＝56”，求a3＋a6＋a9＋…＋a99的值． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　等比数列的性质及应用技巧 (1)若数列{an}为非常数列的等比数列，且其前n项和为Sn＝A·qn＋B(A≠0，B≠0，q≠0，q≠1)，则必有A＋B＝0；反之，若某一非常数列的前n项和为Sn＝A·qn－A(A≠0，q≠0，q≠1)，则该数列必为等比数列． (2)若等比数列{an}的前n项和为Sn，则(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)．特别地，如果公比q≠－1或虽q＝－1但n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成等比数列． ... ...