【学霸笔记：同步精讲】第2章 2.2 2.2.1 直线的点斜式方程 讲义--2026版高中数学湘教版选必修1

2.2　直线的方程 2.2.1　直线的点斜式方程 学习任务 核心素养 1．了解由斜率公式推导直线的点斜式方程的过程．(难点) 2．掌握直线的点斜式方程与斜截式方程．(重点) 3．会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关的问题．(难点、易错点) 通过学习直线的点斜式方程及斜截式方程，提升逻辑推理及数学运算素养． 设l1，l2是平面直角坐标系中的直线，分别判断满足下列条件的l1，l2是否唯一．如果唯一，作出相应的直线，并思考直线上任意一点的坐标(x，y)应该满足什么条件． (1)已知l1的斜率不存在； (2)已知l1的斜率不存在且l1过点A(－2，1)； (3)已知l2的斜率为； (4)已知l2的斜率为且l2过点B(1，2)． 知识点1　直线的点斜式方程 1．直线的点斜式方程 名称 已知条件 示意图 方程 使用范围 点斜式 点P(x0，y0)和斜率k y－y0＝k(x－x0) 斜率存在 的直线 2．当直线l与x轴垂直时，斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，但因为l上每一点的横坐标都等于x0，所以它的方程是x＝x0． 1．(1)过点P(x0，y0)，分别平行于x轴和y轴的直线的方程是什么？ (2)方程k＝与y－y0＝k(x－x0)表示同一条直线吗？ [提示]　(1)过点P(x0，y0)，平行于x轴的直线的方程为y＝y0； 过点P(x0，y0)，平行于y轴的直线的方程为x＝x0． (2)不表示同一条直线，k＝表示去掉P(x0，y0)的一条直线，而y－y0＝k(x－x0)表示整条直线． 1．(1)思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) ①x轴所在直线的方程为x＝0． (　　) ②y轴所在直线的方程为y＝0． (　　) ③过点P(1，2)的所有直线都可表示为y－2＝k(x－1)． (　　) [答案]　①×　②×　③× (2)已知直线l的方程是y＋2＝－x－1，则直线l的斜率k＝_____． [答案]　－1 知识点2　直线的斜截式方程 1．直线l在y轴上的截距 直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标称为直线l在y轴上的截距． 2．直线的斜截式方程 方程y＝kx＋b由直线l的斜率和它在y轴上的截距确定，因此该方程称为直线的斜截式方程，简称斜截式． 2．(1)截距是距离吗？ (2)一次函数的解析式y＝kx＋b与直线的斜截式方程y＝kx＋b有什么不同？ [提示]　(1)不是．截距是直线与y轴交点的纵坐标，其值可正，可负，也可以为零，而距离不能为负值． (2)一次函数的x的系数k≠0，否则就不是一次函数；直线的斜截式方程y＝kx＋b中的k可以为0． 2．已知直线l的方程为y＝－2x－2，则直线l在y轴上的截距b＝_____． －2　[由直线的斜截式方程可知b＝－2．] 类型1　直线的点斜式方程 【例1】　【链接教材P66例1】 已知在第一象限的△ABC中，A(1，1)，B(5，1)，∠A＝60°，∠B＝45°，求： (1)AB边所在直线的方程； (2)AC边与BC边所在直线的点斜式方程． [解]　(1)如图所示， 因为A(1，1)，B(5，1)，所以AB∥x轴，所以AB边所在直线的方程为y＝1． (2)因为∠A＝60°，所以kAC＝tan 60°＝， 所以直线AC的方程为y－1＝(x－1)． 因为∠B＝45°， 所以kBC＝tan 135°＝－1， 所以直线BC的方程为y－1＝－(x－5)． 【教材原题·P66例1】 例1　已知直线l经过点P(2，3)，斜率为2，求直线l的方程，并画出该直线． [解]　经过点P(2，3)，斜率为2的直线的点斜式方程是y－3＝2(x－2)． 画该直线时，可在直线l上另取一点P1(x1，y1)，如取x1＝1，y1＝1，得P1(1，1)，过P，P1作直线即为所求，如图2.2-2． 　求直线的点斜式方程的步骤及注意点 (1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)． (2)点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点，y0)的所有直线，但直线x＝x0除外． [跟进训练] 1．求满足下列条件的直线的点斜式方程： (1)过点P(－4，3)，斜率k＝－3； (2)过点P(3，－4)，且与y轴平行； (3)过点P(－2，3)，Q(5，－4)两点． [解]　(1)因为直线过点P(－4，3)，斜率k ... ...