【学霸笔记：同步精讲】第3章 3.2 3.2.1 双曲线的标准方程 课件--2026版高中数学湘教版选必修1

(课件网) 复习任务群一 现代文阅读Ⅰ 把握共性之“新”　打通应考之“脉” 第3章 圆锥曲线与方程 3.2　双曲线 3.2.1　双曲线的标准方程 学习任务 核心素养 1．理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程．(重点) 2．掌握双曲线的标准方程及其求法．(重点) 3．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．(难点) 1．通过对双曲线概念的学习，培养数学抽象素养． 2．通过双曲线标准方程的求解、与双曲线有关的轨迹问题的学习，提升数学运算、逻辑推理及数学抽象等素养． 做下面一个实验． (1)取一条拉链，拉开一部分． (2)在拉开的两边各选择一点，分别固定在点F1，F2上． (3)把笔尖放在M处，随着拉链的拉开或闭拢，画出一条曲线． 试观察这是一条什么样的曲线？ 点M在运动过程中满足什么几何条件？ 必备知识·情境导学探新知 知识点1　双曲线的定义 文字 语言 平面上到两个定点F1，F2的距离_____为正常数(小于_____)的点的轨迹叫作双曲线 符号 语言 ||PF1|－|PF2||＝正常数(正常数＜|F1F2|) 焦点 两个定点F1，F2 焦距 两个焦点之间的距离|F1F2| 之差的绝对值 |F1F2| 思考　1．(1)双曲线定义中，将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？ (2)双曲线的定义中，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，若|MF1|－|MF2|＝2a(常数)，且2a<|F1F2|，则点M的轨迹是什么？ [提示]　(1)当距离之差的绝对值等于|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线，端点分别是F1，F2，当距离之差的绝对值大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在． (2)双曲线的右支． 体验　1．(1)已知平面上定点F1，F2及动点M，命题甲：||MF1|－|MF2||＝2a(a为常数)，命题乙：点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线，则甲是乙的(　　) A．充分条件　　　　　 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 (2)平面内到点F1(6，0)的距离减去到点F2(－6，0)的距离之差等于12的点的集合是(　　) A．双曲线 B．双曲线的一支 C．两条射线 D．一条射线 √ √ (1)B　(2)D　[(1)根据双曲线的定义知甲 / 乙，乙 甲，因此甲是乙的必要条件，故选B． (2)设动点为P，则|PF1|－|PF2|＝12＝|F1F2|，点P的轨迹为以F2为端点的一条射线，故选D．] 知识点2　双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) _____ a，b，c的关系 c2＝_____ ＝1(a>0，b>0) ＝1(a>0，b>0) F1(0，－c)，F2(0，c) a2＋b2 思考　2．如何根据双曲线的标准方程判断焦点所在的坐标轴？ [提示]　双曲线的焦点在x轴上 标准方程中x2项的系数为正；双曲线的焦点在y轴上 标准方程中y2项的系数为正，即“焦点跟着正的跑”．这是判断双曲线焦点所在坐标轴的重要方法． 体验　2．(1)若双曲线方程为＝1，则其焦点在_____轴上，焦点坐标为_____． (2)已知a＝5，c＝10，焦点在y轴上，则双曲线的标准方程为 _____． x (6，0)和(－6，0) ＝1 (1)x　(6，0)和(－6，0)　(2)＝1　[(1)因为方程中x2的系数>0，所以焦点在x轴上，且a2＝16，b2＝20，从而c2＝16＋20＝36，c＝6，故焦点坐标为(6，0)和(－6，0)． (2)由已知得b2＝c2－a2＝75，于是双曲线的标准方程为＝1．] 类型1　双曲线定义的应用 【例1】　若F1，F2是双曲线＝1的两个焦点． (1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于7，求点M到另一个焦点的距离； (2)若点P是双曲线上的一点，且∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积． 关键能力·合作探究释疑难 [解]　(1)由双曲线方程知a2＝9，b2＝16，则c2＝25，∴a＝3，b＝4，c＝5． 设|MF1|＝7，则根据双曲线的定义知 ||MF2|－7|＝6，即|MF2|－7＝ ... ...