【学霸笔记：同步精讲】第1章 1.4 数学归纳法 课件--2026版高中数学湘教版选必修1

(课件网) 复习任务群一 现代文阅读Ⅰ 把握共性之“新”　打通应考之“脉” 第1章 数列 *1.4　数学归纳法 学习任务 核心素养 1．了解数学归纳法的原理．(难点、易混点) 2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．(重点、难点) 1．通过数学归纳法定义的学习，体现了数学抽象的核心素养． 2．通过数学归纳法的应用，培养逻辑推理的核心素养． 我们中国过去有个习俗，子女从父亲的姓氏，如父亲姓王，其子女都姓王．假设我们知道一个男子姓王，假设他每一代后代都有男子，而且严格按照我国过去的习俗，那么他的儿子姓什么？孙子呢？玄孙呢？……如果他有32代孙，你能确定他的32代孙的姓吗？如果他有无限代孙呢？ 为了保证各代孙辈都姓王，必须严格按照中国过去的习俗，否则无法递推下去，也就是说要保证第n代孙姓王能推出第(n＋1)代孙也姓王，当然还要求第1个人必须姓王了． 思考：通过这个例子，我们能得到什么启示呢？ 必备知识·情境导学探新知 知识点　数学归纳法 1．归纳法 由____到____的推理方法，叫作归纳法． 2．数学归纳法 在证明一个与正整数有关的命题时，可采用下面两个步骤： (1)证明n＝n0(n0∈N＋)时命题成立； (2)假设n＝k(k∈N＋，且k≥n0)时命题成立，证明当n＝_____时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以知道：对任何从n0开始的正整数n，命题成立．这种证明方法叫作数学归纳法． 特殊 一般 k＋1 思考　数学归纳法的第一步n0的初始值是否一定为1 [提示]　不一定．如证明n边形的内角和为(n－2)·180°，第一个值n0＝3． 体验　思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)用数学归纳法证题时可以只证明归纳递推即可． (　　) (2)数学归纳法证明3n≥n2(n≥3，n∈N＋)，第一步验证n＝3． (　　) (3)设Sk＝＋…＋，则Sk＋1＝＋…＋． (　　) [提示]　(1)数学归纳法两个步骤缺一不可，(3)中，Sk＋1＝＋…＋． × √ × 类型1　用数学归纳法证明等式 【例1】　【链接教材P41例2】 (1)用数学归纳法证明(n＋1)·(n＋2)·…·(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(n∈N＋)，“从k到k＋1”左端增乘的代数式为_____． (2)用数学归纳法证明： ＋…＋＝(n∈N＋)． 关键能力·合作探究释疑难 2(2k＋1) (1)2(2k＋1)　[令f (n)＝(n＋1)(n＋2)…(n＋n)，则 f (k)＝(k＋1)(k＋2)…(k＋k)， f (k＋1)＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)，所以＝＝2(2k＋1)．] (2)[证明]　 ①当n＝1时，＝成立． ②假设当n＝k(k∈N＋)时等式成立，即有 ＋…＋＝， 则当n＝k＋1时，＋…＋＝＝， 即当n＝k＋1时等式也成立． 由①②可得对于任意的n∈N＋等式都成立． 【教材原题·P41例2】 例2　用数学归纳法证明： 12＋22＋32＋…＋n2＝(n∈N＋)． [证明]　(1)当n＝1时，左边＝12＝1，右边＝＝1，等式成立． (2)假设当n＝k时，等式成立，即12＋22＋32＋…＋k2＝， 那么，当n＝k＋1时，12＋22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2 ＝＋(k＋1)2＝ ＝＝． 这表明，当n＝k＋1时，等式也成立． 由(1)和(2)可以断定，等式对任何正整数n都成立． 反思领悟　用数学归纳法证明恒等式时，应关注以下三点 (1)弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况； (2)弄清从n＝k到n＝k＋1等式两端增加了哪些项，减少了哪些项； (3)证明n＝k＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝n＝k＋1证明目标的表达式变形． [跟进训练] 1．用数学归纳法证明等式 ＝(－1)n-1． [证明]　①当n＝1时，左边＝12＝1，右边＝(－1)0×＝1，左边＝右边，等式成立； ②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立，即有12－22＋32－42＋…＋(－1)k-1k2＝(－1)k-1， 那么，当n＝k＋1时，12－22＋32－42＋…＋(－1)k-1k2＋(－1)k·(k＋1)2＝( ... ...