【学霸笔记：同步精讲】第2章 2.5 2.5.1 圆的标准方程 课件--2026版高中数学湘教版选必修1

(课件网) 复习任务群一 现代文阅读Ⅰ 把握共性之“新”　打通应考之“脉” 第2章 平面解析几何初步 2.5　圆的方程 2.5.1　圆的标准方程 学习任务 核心素养 1．会用定义推导圆的标准方程，掌握圆的标准方程的特点．(重点) 2．会根据已知条件求圆的标准方程．(重点、难点) 3．能准确判断点与圆的位置关系．(易错点) 通过对圆的标准方程的学习，提升直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养． 如图所示，设平面直角坐标系中的⊙C的圆心坐标为C(1，2)，而且半径为2． (1)判断点A(3，2)是否在⊙C上； (2)设M(x，y)是平面直角坐标系中任意一点，那么M在⊙C上的充要条件是什么？此时x，y要满足什么关系式？ 必备知识·情境导学探新知 知识点1　圆的标准方程 (1)圆的定义：圆是平面内到一定点的距离等于定长的所有的点组成的集合．这个定点即圆心，而定长就是半径． (2)圆的标准方程：圆心为C(a，b)，半径为r的圆的方程是_____，把它叫作圆的标准方程． 特别地，圆心在原点(0，0)，半径为r的圆的方程为x2＋y2＝r2． (x－a)2＋(y－b)2＝r2 思考　方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝m2一定是圆的方程吗？ 若方程表示圆，m满足什么条件？此时圆的圆心和半径分别是什么？ [提示]　当m＝0时，方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝m2表示点(－a，－b)． 当m≠0时，方程表示圆，此时圆的圆心为(－a，－b)，半径为|m|． 体验　1．圆心为(1，－2)，半径为3的圆的方程是(　　) A．(x＋1)2＋(y－2)2＝9 B．(x－1)2＋(y＋2)2＝3 C．(x＋1)2＋(y－2)2＝3 D．(x－1)2＋(y＋2)2＝9 D　[由圆的标准方程得，圆的方程是(x－1)2＋(y＋2)2＝9，故选D．] √ 知识点2　点与圆的位置关系 圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，设d＝|PC|＝． 位置关系 d与的大小r 图示 点P的坐标的特点 点在圆外 d>r _____ (x0－a)2＋(y0－b)2>r2 位置关系 d与的大小r 图示 点P的坐标的特点 点在圆上 d＝r _____ 点在圆内 d4， ∴点P(－2，－2)在圆外，故选B．] 类型1　求圆的标准方程 【例1】　【链接教材P90例2】 已知圆过点A(1，－2)，B(－1，4)． (1)求周长最小的圆的标准方程； (2)求圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的标准方程． 关键能力·合作探究释疑难 [解]　(1)当线段AB为圆的直径时，过点A，B的圆的半径最小，从而周长最小， 即所求圆以线段AB的中点(0，1)为圆心， |AB|＝为半径．故所求圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝10． (2)法一：直线AB的斜率k＝＝－3，则线段AB的垂直平分线的方程是y－1＝x，即x－3y＋3＝0． 由解得即圆心的坐标是(3，2)． 所以圆的半径r＝＝2． 所以所求圆的标准方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20． 法二：设圆心坐标为(a，b)，半径为r(r>0)，则圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 由题意得解得 所以所求圆的标准方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20． 【教材原题·P90例2】 例2　已知某圆经过A(－2，2)，B(6，0)两点，圆心M在直线2x－y＝1上，求该圆的方程． [解]　(方法一)设圆心为M(a，b)，半径为r，则圆的标准方程为 (x－a)2＋(y－b)2＝r2． 由题意可得方程组 解此方程组，得 故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－5)2＝34． (方法二)如图2.5-2，由于圆心M到点A，B的距离相等(都等于半径)，因此圆心M在AB的垂直平分线l上，并且位于直线l与直线2x－y＝1的交点处． 因为l⊥AB，所以＝(8，－2)是l的一个法向量，故可设直线l的方程为 8x－2y＋C＝0． ① 又直线l过AB的中点N，而N的坐标为 ... ...