3.1.3 函数的奇偶性 学习目标 1.结合具体函数,了解奇偶性的概念和几何意义.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.培养数学抽象、数学运算与逻辑推理的核心素养. 2.了解奇(偶)函数的图象的对称性,掌握函数奇偶性的简单应用.培养直观想象的核心素养. 知识探究 1.奇函数、偶函数的定义 前提 设函数y=f(x)的定义域为D,如果对D内的任意一个x,都有-x∈D 条件 f(-x)=-f(x) f(-x)=f(x) 结论 f(x)是奇函数 f(x)是偶函数 [思考1] 奇偶性定义中的“任意”可以省略吗 提示:不能省略.如函数y=x2,x∈[-2,5],有f(-2)=4=f(2),f(-1)= f(1),但不能因此就说函数y=x2,x∈[-2,5]是偶函数,因为f(-5)是没有定义的. [思考2] 若一个函数具有奇偶性,其定义域有何特点 提示:定义域关于原点对称. [思考3] 若一个函数是常值函数,且函数的定义域关于原点对称,则函数的奇偶性如何 提示:若函数为f(x)=0,则函数既是奇函数又是偶函数,若函数f(x)=a≠0,则函数仅为偶函数. 2.奇函数、偶函数的图象特征 (1)奇函数 图象是以原点为对称中心的中心对称图形. (2)偶函数 图象是以y轴为对称轴的轴对称图形. (1)若奇函数在x=0处有定义,则f(0)=0;f(x)为偶函数,则f(|x|)= f(x),它能使自变量化归到[0,+∞)上,避免分类讨论. (2)奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反. (3)区间[a,b]和[-b,-a]关于原点对称. ①若f(x)为奇函数,且在[a,b]上有最大值M,则f(x)在[-b,-a]上有最小值-M. ②若f(x)为奇函数,f(x)+2在[a,b]上有最大值M,则f(x)+2在[-b,-a]上有最小值-M+4. 探究点一 函数奇偶性的判断 [例1] 判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)=; (2)f(x)=+; (3)f(x)= 解:(1)f(x)=,其定义域为R,有f(-x)=-=-f(x),则函数f(x)为奇函数. (2)函数f(x)=+的定义域满足即x=1. 因此函数的定义域为{1},不关于原点对称,是非奇非偶函数. (3)易知函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,又当x>0时,f(x)=x2+x, 则当x<0时,-x>0, 故f(-x)=x2-x=f(x); 当x<0时,f(x)=x2-x,则当x>0时,-x<0, 故f(-x)=x2+x=f(x).故原函数是偶函数. 函数奇偶性的判定方法 (1)定义法:若函数的定义域不是关于原点对称的对称区域,则该函数既不是奇函数也不是偶函数;若函数的定义域是关于原点对称的对称区域,再判断f(-x)是否等于±f(x)或判断f(x)±f(-x)是否等于零或判断是否等于±1等. (2)图象法: ①若f(x)图象关于原点对称,则f(x)是奇函数. ②若f(x)图象关于y轴对称,则f(x)是偶函数. ③若f(x)图象既关于原点对称,又关于y轴对称,则f(x)既是奇函数,又是偶函数. ④若f(x)的图象既不关于原点对称,又不关于y轴对称,则f(x)既不是奇函数也不是偶函数. [针对训练] (1)下列函数中奇函数、偶函数的个数分别是( ) ①f(x)=x2;②f(x)=x3;③f(x)=;④f(x)=. A.1,1 B.2,2 C.3,1 D.2,1 (2)给出以下结论: ①f(x)=|x+1|-|x-1|是奇函数; ②F(x)=f(x)f(-x)(x∈R)是偶函数; ③h(x)=+既是奇函数,又是偶函数. 其中正确的序号是 . (1)解析:①定义域为R,且f(-x)=(-x)2=x2=f(x),为偶函数;②定义域为R,且f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x),为奇函数;③定义域为(-1,1],非奇非偶函数;④定义域为{x|x≠0},且f(-x)==-=-f(x),为奇函数.故选D. (2)对于①,函数定义域为R,因为f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x), 所以f(x)=|x+1|-|x-1|是奇函数,①正确; 对于②,因为F(x)=f(x)f(-x), 所以F(-x)=f(-x)f(x)=F(x)(x∈R), 所以F(x)=f(x)f(-x)是偶函数,②正确; 对于③,由 解得x=±2, 故函数h(x)的定义域为{-2,2},且h(x)=0, 所以h(x)既是奇函数,又是偶函数,③正确. 答案:(1)D (2)①②③ 探究点二 已知奇偶性求参数值 [例2] (1)若f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数,则实数a= ; (2)已知函数f(x)=为奇函数,则a+b= ; (3)函数f(x)= ... ...
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