4.4 函数与方程 4.4.1 方程的根与函数的零点 核心知识目标 核心素养目标 1.结合学过的函数图象与性质,了解函数零点与方程解的关系. 2.了解零点存在性定理、会判断函数零点的个数. 通过对函数的零点与方程的解的学习,使学生体会转化思想在研究函数中的作用,提升学生的数学抽象、逻辑推理、直观想象的核心素养. 函数零点 设函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,当x从a到b逐渐增加时,如果f(x)连续变化而且f(a)·f(b)<0,则存在点x0∈(a,b),使f(x0)=0.如果y=f(x)在区间[a,b]内单调递增或单调递减,方程f(x)=0在(a,b)内恰有一个根. 1.函数f(x)=lg(x-1)的零点是( C ) A.1 B.(0,2) C.2 D.(2,0) 解析:由lg(x-1)=0得x=2.故选C. 2.函数f(x)=2x-3的零点所在的区间是( B ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 解析:因为f(0)=-2<0,f(1)=2-3=-1<0,f(2)=4-3=1>0,f(3)=5>0,f(4)=13>0. 所以f(1)·f(2)<0,即f(x)的零点所在的区间为(1,2).故选B. 3.函数f(x)=x2-2x在R上的零点个数是 . 解析:函数f(x)=x2-2x的零点个数,等价于函数y=2x,y=x2的图象交点的个数.如图,画出函数y=2x,y=x2的大致图象. 由图象可知有3个交点,即f(x)=x2-2x有3个零点. 答案:3 4.若函数f(x)=2x2-ax+3有一个零点是,则g(x)=ax-10的零点是 . 解析:因为f()=0, 所以2×()2-a×+3=0, 所以a=5, 所以g(x)=5x-10. 由5x-10=0,解得x=2. 答案:2 函数的零点 探究角度1 根据函数解析式求函数零点 [例1] 判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出. (1)f(x)=-x2-4x-4; (2)f(x)=; (3)f(x)=4x+5; (4)f(x)=log3(x+1). 解:(1)令-x2-4x-4=0,解得x=-2. 所以函数f(x)的零点为-2. (2)令=0,解得x=1. 所以函数f(x)的零点为1. (3)令4x+5=0,则4x=-5<0, 而4x>0,所以方程4x+5=0无实数根. 所以函数f(x)不存在零点. (4)令log3(x+1)=0,解得x=0. 所以函数f(x)的零点为0. [即时训练1-1] 求下列函数的零点. (1)f(x)=2x-1-3; (2)f(x)=; (3)f(x)= 解:(1)令2x-1-3=0,得x=log26, 所以函数的零点是log26. (2)令=0,得x=-6,所以函数的零点为-6. (3)当x>0时,由f(x)=0,即ln x=0,解得x=1; 当x≤0时,由f(x)=0,即ex+1-1=0, 解得x=-1. 综上,该函数有两个零点为1和-1. 根据函数解析式求函数零点的两种方法 (1)代数法:求方程f(x)=0的实数根. (2)几何法:对于不易求根的方程f(x)=0,可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来,图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点. 注意:几何法常用来判断函数零点个数. 探究角度2 确定函数零点所在的区间 [例2] (1)设f(x)=ln x+x-2,则函数f(x)的零点所在的区间为( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) (2)若a0,所以f(1)·f(2)<0.因为函数f(x)=ln x+x-2的图象是连续的,且单调递增,所以f(x)的零点所在的区间是(1,2).故选B. (2)因为a0, f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0, 由函数零点存在定理可知,在区间(a,b),(b,c)内分别存在零点,又函数f(x)是二次函数,最多有两个零点,因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a,b),(b,c)内.故选A. [即时训练2-1] (1)(2022·山东青岛期中)方程2x+3x-4=0的实数根所在的区间为( ) A.(,1) B.(-1,0) C.(0,) D.(1,) (2)下列区间中,包含函数f(x)=lox+的零点的是( ) A.(3,4) B.(2,3) C.(1,2) D.(0,1) 解析:(1)令f(x)=2x+3x-4, 因为f(1)=21+3-4=1>0,f()=-<0, 所以f(1)f()<0,则函数f(x)的零点在(,1)内,所以方程2x+3x-4=0的实数根所在的区间为(,1).故选A. (2)因为函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,f(1)=1>0,f(2)=-1+= ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
